Cómo calculan la hipotenusa un matemático y un ingeniero

Cómo calculan la hipotenusa un matemático y un ingeniero

Si en un triángulo rectángulo te dan los catetos y te piden hallar la hipotenusa, seguro que enseguida te acuerdas del Teorema de Pitágoras. En teoría, el problema ya está resuelto.  Pero ¿sabías que no todas las soluciones teóricas resultan viables en la práctica? ¿Sabes cómo calcula la hipotenusa tu ordenador?

Imagina que eres el jefe del departamento de I+D de una empresa (es posible que te cueste un poco imaginarlo). Imagina que la empresa tiene que resolver un problema y ha decidido pedir consejo a un matemático (si eres matemático, seguro que te cuesta mucho imaginarlo).

Envías a un ingeniero a contarle al matemático vuestro problema. Resulta que tu empresa tiene un triángulo rectángulo como éste

Triángulo rectangulo de catetos 3 y 4

y necesita hallar la (x) como sea (pero no vale hacer el chiste fácil). El matemático enseguida propone usar el Teorema de Pitágoras

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

por el que (x^2=3^2+4^2) y por tanto [x=sqrt{3^2+4^2}=sqrt{9+16}=sqrt{25}=5.]

Entonces el ingeniero frunce el ceño y le dice al matemático que esa solución no sirve. Que las calculadoras de la empresa no admiten números más grandes que (5)… así que no van a poder calcular (3^2).

El matemático se queda un poco descolocado, nunca había pensado que pudiera hacer falta otra manera de calcular la hipotenusa. Pero el ingeniero le convence de que, si los datos sí caben en esas calculadoras (son (3) y (4)) y el resultado también (es (5)), tiene que haber alguna manera de poder hacer las cuentas.

Se ponen a trabajar juntos, cada uno aportando su manera de hacer las cosas y sus conocimientos. Además de pasárselo bien y aprender uno del otro, esta suma de esfuerzos no tarda en llevarles a encontrar una solución.

Entusiasmados, te llaman diciendo que ya lo han resuelto y que van a tu despacho para contarte cómo. Mientras llegan, dedicas un rato a ver si a ti se te ocurre alguna solución (éste es el momento, antes de seguir leyendo).

Cuando aparecen, el matemático se queda un momento mirando el suelo de tu despacho

Enlosetado Pitagórico

mientras el ingeniero te propone ir haciendo las cuentas con una calculadora, para que compruebes que ningún resultado se pasa de (5):

  • Divide el cateto más pequeño entre el más grande, es decir (3/4). Fíjate en que el resultado es como mucho (1) y por tanto cabe en tu calculadora.
  • Eleva al cuadrado el resultado anterior, ((3/4)^2). El resultado de elevar al cuadrado algo que es como mucho (1) también es como mucho (1), así que también cabe en tu calculadora.
  • Súmale (1) a lo anterior, (1+(3/4)^2). Como lo anterior era más pequeño que (1), este resultado es más pequeño que (2) y también cabe.
  • Haz la raíz cuadrada de lo anterior, (sqrt{1+(3/4)^2}). Está claro que el resultado es más pequeño que lo de antes, así que sigue siendo más pequeño que (2) y cabe en tu calculadora.
  • Multiplica lo anterior por el cateto más grande, (4cdotsqrt{1+(3/4)^2}). El resultado es el valor de (x) que estabas buscando, es decir, (5).

¡¡Es cierto!! No has necesitado utilizar ningún número más grande que (5).

Convencido de que la solución funciona, te aflojas un poco el nudo de la corbata y les cuentas al matemático y al ingeniero la verdad. En realidad, confiesas un poco avergonzado, la empresa pretende adelantarse a la competencia utilizando la calculadora de Google (que, de momento, sale gratis) para ser capaz de trabajar con números más grandes.

Hay un contrato muy importante que depende de poder hallar el valor de (x) en este triángulo:

Triángulo rectángulo de catetos 1e154 y 1e155

Enseguida, el ingeniero te cuenta que el número más grande que cabe en la calculadora de Google (a día de hoy) es (1.7976931348623157cdot 10^{308}) y el matemático te dice que entonces tampoco se va a poder usar el Teorema de Pitágoras, porque con esa calculadora no se podrá calcular ((10^{155})^2=10^{310}).

Pero no te preocupes, te dicen a la par, la solución que han encontrado sigue funcionando. De nuevo te proponen que compruebes las cuentas, esta vez con la calculadora de Google:

  • Divide el cateto más pequeño entre el más grande (10^{154}/10^{155}).
  • Eleva al cuadrado el resultado anterior, ((10^{154}/10^{155})^2).
  • Súmale (1) a lo anterior, (1+(10^{154}/10^{155})^2).
  • Haz la raíz cuadrada de lo anterior, (sqrt{1+(10^{154}/10^{155})^2}).
  • Multiplica lo anterior por el cateto más grande, (10^{155}cdot sqrt{1+(10^{154}/10^{155})^2}) y tendrás tu resultado.

El matemático y el ingeniero se van a la cafetería a seguir charlando mientras tú, encantado, subes a hablar con el director. Ojalá te dejara gastar dinero en estas cosas más a menudo…

Puedes seguirnos en Twitter, Facebook y Google +.

Nota 1: No habría apreciado del todo un ejemplo como el de esta entrada si no hubiera tenido la suerte de trabajar con ingenieros. Les estoy agradecido por ayudarme a abrir la mente y espero que esta entrada ayude a que los unos entiendan un poquito mejor a los otros 😉

Nota 2: Esta entrada ha resultado ganadora de la edición 4.12 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es High Ability Dimension.Premio Carnaval Matematicas Marzo2013

Nota 3: Esta entrada ha llegado a portada en Menéame.

Nota 4: Esta entrada ha llegado a portada en Divúlgame.

Nota 5: Esta entrada ha llegado al Olimpo en Divoblogger.

Imagen central: Wikimedia Commons.

Para saber más:

En realidad, al calcular la hipotenusa de esta otra manera también estás usando el Teorema de Pitágoras. Si (h) es la hipotenusa, (c) es el cateto más pequeño y (C) el cateto más grande, lo que estás haciendo es
[Ccdotsqrt{1+left (frac{c}{C}right )^2}]
y eso te da la hipotenusa porque es igual a
[Ccdotsqrt{1+frac{c^2}{C^2}}=Ccdotsqrt{frac{C^2}{C^2}+frac{c^2}{C^2}}=Ccdotsqrt{frac{C^2+c^2}{C^2}}stackrel{mbox{Pitagoras}}{=}Ccdotsqrt{frac{h^2}{C^2}}=Ccdot{frac{h}{C}}=h.]

Esta entrada está inspirada en una de John D. Cook en su muy recomendable blog The Endeavour. Para saber cómo implementar en un ordenador el cálculo de la hipotenusa puedes leer la entrada sobre la función Hypot en Wikipedia.

Si te interesa saber por qué la calculadora de Google admite (1.7976931348623157cdot 10^{308}) como valor más alto, puedes consultar la entrada sobre precisión doble en coma flotante de la Wikipedia.

Si nunca te han explicado por qué es verdad el Teorema de Pitágoras, puedes ver este experimento en el que comprueban que se cumple, o leer esta entrada de Eulerianos al respecto. En esta otra página de José Manuel Arranz tienes alguna demostración más y, si te parecen pocas, puedes comprobar las 98 demostraciones del Teorema de Pitágoras en Cut The Knot.

Si te has quedado con la duda de por qué al matemático le parecía interesante el suelo de la sala de reuniones, puedes comprobarlo en esta entrada de Wikipedia sobre el enlosetado pitagórico.

Por desgracia, todavía se puede mejorar mucho la conexión entre la universidad y las empresas (en algunos países más que en otros), especialmente en lo relativo a matemáticas. Por eso me parece interesante destacar la gran labor de math-in (Red Española Matemática-Industria) e Itmati (Instituto Tecnológico de Matemática Industrial). Y si a algún científico, ingeniero o empresario le parece que puedo ser de alguna ayuda, aquí me tiene.



43 respuestas a «Cómo calculan la hipotenusa un matemático y un ingeniero»

  1. Avatar de selfi
    selfi

    Y haciendo lo siguiente?

    x*sin(alpha)=4 siendo alpha el ángulo que forman el cateto inferior y la hipotenusa, que es:
    alpha = atan(4/3) < 1 y de ahí:
    x=4/sin(alpha)

    1. Avatar de David Orden

      @1 selfi: Es una buena aproximación, que funciona para números pequeños. Pero si el cateto grande es mucho más grande que el pequeño, por ejemplo (C=10^7) y (c=1) la calculadora va a decir que (sin(arctan(frac{C}{c}))=1)… y hará lo mismo para (C=10^8) y (c=1) así que te dará el mismo resultado para dos triángulos que deberían tener resultados distintos (puedes probarlo con la calculadora de Google). ¡Gracias por hacernos aprender! 🙂

  2. Avatar de luis
    luis

    Buena solucion…aunque no haces mas que «normalizar» C.

    1. Avatar de David Orden

      @3 luis: La solución no es mía 🙂 Me pareció un ejemplo fácil de entender e ingenioso a la vez.

  3. Avatar de isma

    ¿Lo que has hecho es como dividir los catetos por un número, aplicar pitágoras y luego multiplicar el resultado por ese número?

    Saludos.

    1. Avatar de David Orden

      @5 isma: Algo así, con una raíz cuadrada de por medio 🙂 Está explicado en la sección «Para saber más».

  4. Avatar de phipie
    phipie

    si eres matemático ( al menos aficionado ) y te presentan un rectángulo con catetos de valor 3 y 4, no necesitas calcular, sabes que es 5, una terna pitagórica, entre otras cosas, 🙂 y el rectángulo resultante de esos dos catetos tiene la proporción aurea

  5. Avatar de selfi
    selfi

    @2 Ah! ¡no había caído en la cuenta! Sabía que no podía ser tan fácil 😛

  6. Avatar de Juan Manuel Dato
    Juan Manuel Dato

    La solución de selfi arrasa con el blog.
    Si la solución es dividir por un escalar, siempre ha sido mejor opción dividir por una potencia de dos, para luego volver a multiplicar. Eso digitalmente es incluso más rápido que hacer una operación lógica y es más preciso pues no propaga errores de cálculo numérico. El problema es que se pierden los bits menos significativos en el proceso, esto es, no es exacto.

    El primer comentario, sin embargo, nos ofrece una solución que se basa en las tablas trigonométricas; las cuales pueden estar predefinidas en calculadoras limitadas para que tengan precisión de sobra.

    Si hubiera que implementar este problema, se debería hacer como propone selfi.

    1. Avatar de David Orden

      @9 Juan Manuel Dato: El cálculo de la hipotenusa se implementa así (no es una solución mía, ni mucho menos). En la sección «Para saber más» puedes ver el enlace.

  7. Avatar de Jaime
    Jaime

    Si divides los catetos por 2. Te da el resultado que será la mitad de 5 osea 2.5. Creo que esta seria la forma de hacer de un ingeniero.

  8. Avatar de computer
    computer

    Hey!
    El ingeniero si es informático te ofrecerá o implementará una maravillosa librería para multiplicar enteros o flotantes con precisión arbitraria, siempre que tengas memoria suficiente para ello.

    Y si un solo computador no tiene memoria suficiente siempre puedes montar un grid o un cluster de servidores que se dividan la tarea.

    Qué tiempos, programando una fft para que fuera computada por 8 ordenadores en paralelo. 🙂

  9. Avatar de TioMac
    TioMac

    Te voy a contar como lo hacemos en realidad los ingenieros. Dibujamos el triángulo en Autocad o similares y acotamos la hipotenusa.

    Que los matemáticos ya nos habéis mareado con demasiadas ecuaciones durante la carrera. 😉

    1. Avatar de David Orden

      @14 TioMac: Lo siento, por la parte que me toca 😉 Hay muchos tipos de ingenieros, claro. Esto se aplica más bien a los ingenieros, mi intención era poner de manifiesto las distintas maneras de trabajar.

  10. Avatar de yiyi
    yiyi

    Si la fracción da como resultado un decimal periódico, como la calculadora (por mucho que sea de Google) hará una aproximación, es decir, lo truncará, entonces el resultado no será exacto, aunque sí una buena aproximación, ¿no?.
    Saludos.
    Gran post

  11. Avatar de themis

    Leo este blog por que me quedo boquiabierto.
    Lo releo a los días, por que me quedo requeteboquiabierto con los comentarios.
    Ya me decía mi madre que tendría que haber estudiado para entender como funcionan las cosas.

    1. Avatar de David Orden

      @17 themis: Yo leo el tuyo porque me parece fascinante. Ese mundo me atrae, aunque mis descargas de adrenalina se plantaron en la bici de montaña. Tenemos que vernos un día e intercambiar conocimientos :-).

  12. Avatar de fruscus
    fruscus

    ¿Y utilizando la escala (ingenieros) o la semejanza de triángulos (matemáticos)?

  13. Avatar de Elrohir

    Como dice yiyi, el problema es que cuando haces una renormalización, también puedes perder precisión.
    Además, no hace falta que el decimal sea periódico: lo importante es el número de cifras significativas de tu número. El ordenador almacena por separado la «mantisa» y el «exponente» de un número real (las primeras cifras significativas, y el exponente de 10 asociado). Asi, si tu ordenador dedica 2 cifras a la mantisa y 2 al exponente, puede guardar el número 2.2×10^10 (mantisa 22 y exponente 9) pero no puede guardar el número 324, ni el 3.24×10^8, ni el 3.24×10^-5, ni el 10^-120 aunque todos estos sean más pequeños que el máximo. (http://en.wikipedia.org/wiki/Floating_point).

    Además, los ordenadores odian las operaciones de división y raíz cuadrada (http://betterexplained.com/articles/understanding-quakes-fast-inverse-square-root%5B/latex%5D

    En procesado de señal, para operar con senos, cosenos y tangente, lo que realmente se hace es utilizar algoritmos basados en sumas de series y productos, como el CORDIC https://en.wikipedia.org/wiki/CORDIC

    Gracias por la entrada, hacía años que no pensaba en estas cosas de la carrera.

    1. Avatar de David Orden

      @16 yiyi, @19 Elrohir: Gracias por vuestros comentarios, es una suerte poder aprender unos de otros 🙂 Si he entendido bien, esta manera de implementar la hipotenusa pretende evitar «underflow» y «overflow», pero no se ocupa de los problemas de precisión.

  14. Avatar de Albert
    Albert

    Buenas!

    En álgebra de primero de carrera, se me ocurrió preguntarle al profesor, en un momento de confianza, si los profesores del departamento de matemáticas eran arquitectos. Me contestó con cierta risa que era imposible que con lo que se daba en la carrera de arquitectura se pudiera ser profesor de cálculo. Para este problema voy a usar algo que se daba en el colegio. La hipotenusa respectiva a los catetos elevados a tropecientos la hallaría con un triángulo semejante, reduciendo proporcionalmente lo necesario primero y luego multiplicando por el proporcional. Supongo que valdría. No soy ni matemático ni ingeniero pero tan sólo he usado conocimientos de matemática escolar.

    Para una vez que veo una posible respuesta a un problema matemático…
    Un saludo!

    1. Avatar de David Orden

      @22 albert: Es una buena manera de resolverlo, ¡enhorabuena! (Un enlace al respecto aquí y otro enlace aquí). Es, básicamente, lo que se hace en el paso (Ccdotsqrt{frac{C^2}{C^2}+frac{c^2}{C^2}}), que es (Ccdotsqrt{left(frac{C}{C}right)^2+left(frac{c}{C}right)^2}).

  15. Avatar de Claudio

    ¿No es mas facil dividir por un múltiplo de 10, usar el teroema Pitágoras y volver a multiplicar por la potencia de 10 el resultado?

    en el ejemplo podemos dividir por 10, y calculamos Raiz(0.3^2 + 0.4^2) = 0.5, y 0.5 x 10 = 5

    1. Avatar de David Orden

      @24 Claudio: Es parecido, aunque dividir ambos catetos por el cateto mayor tiene la ventaja de ser siempre como mucho 1, sin tener que decidir qué múltiplo de 10 se escoge 🙂

  16. Avatar de jose
    jose

    Ya los egipcios y los mayas hacia las escuadras in situ para buscar las escuadras de 90 grados usando unas varas estas las consideraban sagradas de 93 cmts y la jabalina eran 5 varas que era la que marcaba el este y el cuadre de la verdadera escuadra ( PUERTA DE RAH ), muchos sabios o se hicieron sabios haciendo estudios geométricos en Egipto, sacó la tabla de mutiplicar a raiz de los bloques y del sistema decimal como proporción porque la vara castellana para hacer ciudades es de 83 ctms y pitagora lo llevó a un metro el 10 X10 buscando el divisible exacto pero el teorema lo dejó como lo usaron los egipcios.

  17. Avatar de XxX
    XxX

    Buenos días a todos

    @1 selfi: si una calculadora tiene un problema para hacer una raíz cuadrada de un número grande tampoco va a poder calcular la arcotangente

    @2 David Orden: En realidad el metodo de selfi devuelve dos valores diferentes porque es C*sen(arctan(C/c)) cuando C>>>>c es C*1, en caso de de C=10^8 y c=1 da 10^8 en el caso de C=10^7 da 10^7, pero si pierde precisión.

    Por otro lado este método de cálculo es algo bastante básico en geometría, y simplemente consiste en transformar el eje de coordenadas de tal manera que una longitud se haga unitaria y puedas realizar los cálculos mas cómodamente y al final se vuelve a transformar a la medida original para obtener un resultado final.

    Pero para informática esto solo simplifica las cosas cuando C y c no distan muchos ordenes de magnitud, porque lo que te ahorras en numero grandes lo perderás en precisión al realizar la división c/C.

    Un saludo

  18. Avatar de Chandler
    Chandler

    Un ingeniero construiría el triángulo… y mediría la hipotenusa con una regla 😀

  19. Avatar de laura solorzano
    laura solorzano

    mmm para q no me gusto no me sirbio de nada XD

  20. Avatar de leonardo
    leonardo

    yo lo que hice fue diseñar un algoritmo que divide los catetos a razón de (1/2)^n
    conforme n aumenta. El algoritmo comprueba si la suma de los cuadrados de los catetos es mayor a cinco, de ser < 5, se extrae la raíz y simplemente se multiplica por el recíproco de (1/2)^n
    y ya esta. tal vez no sea la mejor solución pero funciona para este caso.

  21. Avatar de ANALY
    ANALY

    LA MATEMATICA ES MI VIDA PZ TIEMPO PASADO NO ME GUSTABA PERO AHORA ME ENCANTA
    ES LO BUENO QUE ME PASO EN MI VIDA

  22. Avatar de Manuel
    Manuel

    Esto es Pitágoras, que se pasaba las horas dándole al coco en la biblioteca, y Enusa, su esposa, que aprovechaba la situación para tirarse a 4 campesinos analfabetos que cuidaban sus tierras.

    Un día que Pitágoras volvió temprano a casa, los sorprendió, y mató a los cinco de un sólo viaje. Decidió enterrarlos en el jardín.
    En consideración a su esposa dividió el terreno por la mitad, y en un lado la enterró a ella. El otro lado lo dividió en cuatro partes y enterró a cada uno, en un cuadrado igual; de esa forma los cuatro ocuparon un espacio idéntico al que ocupaba la esposa.
    Cuando acabó, subió a la montaña para meditar y, mirando desde la cima pensó: «El cuadrado de la puta Enusa, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos» .

    SI ME LO LLEGAN A EXPLICAR ASI EN CLASE, NUNCA LO HUBIERA OLVIDADO …

  23. […] 4.12: Cómo calculan la hipotenusa un matemático y un ingeniero del blog Cifras y […]

  24. Avatar de Miguel
    Miguel

    Manuel empleó la acepción 2 de la palabra cateto

    cateto2, ta.
    (De or. inc.).
    1. m. y f. despect. Lugareño, palurdo.
    Real Academia Española © Todos los derechos reservados
    cateto1 s. m. Cada uno de los dos lados que forman el ángulo recto de un triángulo rectángulo.
    cateto, -ta2 s. m. y f. desp. Persona sin formación ni cultura y de costumbres toscas.
    Diccionario Manual de la Lengua Española Vox. © 2007 Larousse Editorial, S.L.

  25. Avatar de MVZ
    MVZ

    no soy matemático ni ingeniero. La forma más simple de obtener la hipotenusa es al largo sumar el producto de el ancho por .33 H = L + [(A)(0.33)]

    1. Avatar de David Orden

      @33 MVZ: Me temo que esa fórmula no funciona. Para un triángulo rectángulo de catetos 1 y 1 daría como hipotenusa 1+1/3=4/3, pero el resultado es (sqrt{2}).

  26. Avatar de Juan José B.
    Juan José B.

    Hola. ¿No sería más sencillo decir que multiplicaste y dividiste el contenido de la raíz por 4^2?Luego extraen el factor 4^2 de esa raíz, ya que su exponente lo permite. Y luego se aplico la propiedad distributiva del denominador de toda la raíz haciendo un binomio de la forma 1+c/C. Me parece menos complicado de entender así.

    1. Avatar de David Orden

      @36 Juan José B.: Eso es lo que se hace, sí, pero preferí explicarlo mostrando las operaciones paso a paso para que se pueda comprobar que todas ellas cabrían en esa calculadora.

  27. Avatar de Sebastião Vieira do Nascimento
    Sebastião Vieira do Nascimento

    Quantos triângulos pitagóricos (lados inteiros) existem com o perímetro igual a 240 metros?
    Por tentativa e erros encontrei quatro:
    (15 112 113), (40 96 104), (48 90 102) e (60 80 100)
    Será que é possível provar matematicamente que só existem 4 triângulos pitagóricos com perímetro igual a 240 metros? Se fosse possível deduzir uma fórmula para encontrar triângulos pitagóricos isoperimétricos, seria muito importante para o homem do campo cercar os seus roçados. Haja vista que haveria uma grande economia de arame ou madeira.
    Att.
    Prof. Sebá

  28. Avatar de Ramón Aguirre
    Ramón Aguirre

    Qué pasa. Ahora si en lugar de sacar la hipoténusa quieres sacar un cateto

  29. Avatar de Ramón Aguirre
    Ramón Aguirre

    Ya lo probé en lugar de sumarle uno se lo restas

  30. Avatar de fer
    fer

    La solución mas fácil es dividir los catetos entre 10.. quedaría así: raiz {(3/10)² + (4/10)²} = 0.5
    y el resultado lo multiplicas por 10 y ya está

  31. Avatar de wilton garcía
    wilton garcía

    prefiero el teorema de pitágoras..

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Soy profesor del área de Matemática Aplicada en la Universidad de Alcalá. Me interesa aprender y ayudar a aprender. Me gusta conectar las matemáticas con otros campos. Cuento cosas en Twitter como @ordend. Tengo una página profesional con más información.

Sobre el blog

Este blog trata sobre matemáticas, miradas desde distintos puntos de vista. Pretende ser cooperativo, porque seguro que hay algo de lo que sabes más que otros y, aunque no lo hayas pensado nunca, tiene matemáticas detrás. Queremos pasarlo bien jugando a pensar y ayudarnos entre todos a aprender cosas. Puedes seguir a @cifrasyteclas en Twitter o visitarnos en Facebook.

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