Estamos a punto de empezar 2013 y ya te habrán llegado un buen número de mensajes ingeniosos sobre el nuevo año. Si aún no has escrito el tuyo (y tienes un poco de espíritu matemático) aún estás a tiempo de hacerlo con alguna de estas 3 propiedades curiosas del número 2013, todas relacionadas entre sí.

Para comenzar, vamos a recordar tus tiempos del colegio. Seguro que alguna vez tuviste que descomponer un número como producto de números primos. Por ejemplo, sabes que (10=2cdot 5) o que (18=2cdot 3^2). Si ahora hacemos esto mismo con el número (2013) tenemos que [2013=3cdot 11cdot 61.]

Así que

Propiedad 1: (2013) se descompone como producto de 3 primos distintos. A los números con esta propiedad se les llama números esfénicos.

Si ahora miras la descomposición de (10) que obtuvimos antes, verás que no es un número esfénico porque tiene dos factores primos. Tampoco (18) es un número esfénico porque, aunque puede ponerse como (18=2cdot 3cdot 3), uno de esos factores está repetido y por tanto (18) no es producto de 3 primos distintos.

Y ahora que sabemos que el próximo año es un número esfénico, quizá te estés preguntando: ¿Cuándo ha sido el último año esfénico? ¿Cuándo será el siguiente?

Para contestar a estas preguntas puedes mirar la lista de números esfénicos y comprobarás que el último año esfénico fue (2006) y que el siguiente año esfénico será ¡¡(2014)!! Pero es que, además, ¡¡(2015) también será un año esfénico!!

Así que

Propiedad 2: (2013) es el primero de 3 números consecutivos que son esfénicos; (2013), (2014) y (2015).

Si quieres convencerte de que (2014) y (2015) también son producto de 3 primos distintos, puedes comprobar que [2014=2cdot 19cdot 53 qquadqquad 2015=5cdot 13cdot 31.]

Otra vez te estarás preguntando: ¿Cuándo fue la última vez que pasó esto? ¿Cuándo será la siguiente?

Para saberlo puedes mirar la lista de números con esta propiedad. Comprobarás que la última vez fue en los años (1885), (1886) y (1887) así que ninguno de nosotros lo hemos vivido. Y que la próxima vez será en (2665), (2666) y (2667) así que, salvo increíbles avances en la ciencia, ninguno de nosotros lo vivirá.

Y para terminar, vamos a ver una propiedad más, relacionada con las dos anteriores:

Propiedad 3: (2013) es un número esfénico que es suma de 3 números esfénicos. Además, estos 3 números esfénicos ocupan lugares consecutivos en la lista de números esfénicos.

¿Que qué quiere decir esto? Vamos por partes. Para empezar, (2013) es suma de 3 números esfénicos porque (2013=665+670+678) y cada uno de esos sumandos es un número esfénico:

[665=5cdot 7cdot 19 qquad 670=2cdot 5cdot 67qquad 678=2cdot 3cdot 113.]

Además, (665), (670) y (678) ocupan lugares consecutivos en la lista de números esfénicos, porque ninguno de los números entre ellos es un número esfénico.

Y seguro que ahora te preguntas otra vez: ¿Cuándo fue la última vez que pasó esto? ¿Cuándo será la siguiente?

Pues aunque no lo parezca, esta propiedad es más habitual que la anterior, como puedes comprobar en la lista de números con esta propiedad. La última vez que pasó fue en el año (1986), por lo que muchos de nosotros lo habremos vivido. Y la próxima vez será en el año (2065), y espero que muchos de nosotros lo vivamos.

Ya ves que 2013 será un año bastante especial. Ahora lo que hace falta es:

¡Que tengas un muy feliz año esfénico 2013!

Para saber más:

Por si no te lo han contado nunca (o no lo recuerdas), todo número natural se puede descomponer como producto de primos y, además, de una única manera (salvo reordenación de los factores). Este resultado se conoce como Teorema fundamental de la aritmética y hay una demostración no demasiado complicada, atribuida a Euclides, que dejaremos para otra entrada.

El problema de encontrar la factorización en primos de un número dado es más difícil de lo que parece. De hecho, para números grandes no se conoce un algoritmo eficiente. Un algoritmo crucial en la seguridad informática, el algoritmo criptográfico RSA, se basa en este hecho.

Aunque no esté tan relacionada con números esfénicos, hay una cuarta propiedad interesante sobre el (2013).  Es un número 2-Smith, porque la suma de dígitos de sus factores primos es 2 veces la suma de sus dígitos. Es decir, si para la factorización (2013=3cdot 11cdot 61) hacemos la suma ((3)+(1+1)+(6+1)) el resultado es el doble de (2+0+1+3).

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P.D.: Esta entrada participa en la edición 3.141592653 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Que no te aburran las M@TES.

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