Para vacilar a tu amigo le preguntas: ¿Cuántos cigarrillos iguales puedes colocar (sin doblarlos ni romperlos) de modo que cada uno toque a todos los demás? Luego le cuentas que el problema, aún sin resolver, viene de un acertijo de Martin Gardner y le propones un problema similar, con cilindros infinitos en lugar de cigarrillos. Por último, le sorprendes al contarle que este inocente acertijo resulta tener aplicación práctica en la construcción de los sorprendentes materiales augéticos, que al estirarlos se ensanchan en lugar de estrecharse.

Primer acertijo, sobre cigarrillos que se tocan mutuamente:

En mitad de la noche, cuando mejor lo estáis pasando, tu amigo saca una cajetilla de tabaco. Tú protestas, como tantas otras veces, y le propones una apuesta: “Yo te planteo un acertijo. Si lo resuelves, no te protestaré en un mes. Si no lo haces, te quedas sin fumar un mes. ¿Trato hecho?”

Le conoces bien. Sabes que le gustan las apuestas y le pierde poner a prueba su ingenio. “Hecho”. Pues aquí va:

¿Cuántos cigarrillos iguales puedes colocar (sin doblarlos ni romperlos) de modo que cada uno toque a todos los demás?

Lo primero que hace tu amigo es mirar su cajetilla y comprobar que, tal y como están colocados, no se cumple que todos toquen a todos. Después decide empezar por lo fácil: Con un solo cigarrillo el problema no tiene mucho sentido. Y con dos resulta trivial porque, siempre que se toquen, da igual cómo los pongas.

 

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Así que lo interesante de verdad empieza con tres cigarrillos. Enseguida se da cuenta de que basta con colocarlos formando un triángulo. Entonces se viene arriba y empieza a buscar cómo añadir un cuarto cigarrillo a ese triángulo que ya tiene.

Para que no se emocione demasiado, tú le dices que tenga cuidado, que cualquier recta solo cortará al triángulo en dos de sus lados, nunca en los tres a la vez. Así que, aunque cree que podría conseguirlo, decide buscar otra estrategia. Piensa, le da vueltas, y termina encontrando una idea donde menos se lo espera.

Cartel fluorescente de salida de emergencia, con una flecha señalando hacia la derecha y una figura humana saliendo por una puerta.

¡Claro! Si formas una flecha con los tres cigarrillos, cada uno toca a todos los demás (los otros dos). Aún mejor. Puedes poner otro en vertical encima de los anteriores y ¡ya tienes cuatro cigarrillos cumpliendo la propiedad!

Tu amigo está emocionado y, con la tontería, se le han pasado las ganas de fumar. No tarda en darse cuenta de que puede añadir otros dos cigarrillos más y, formando dos flechas una encima de otra, consigue llegar a seis cigarrillos.

Seis cilindros formando dos flechas superpuestas, una en horizontal y otra en vertical, de modo que todos se tocan mutuamente.

Después se queda mirando su construcción, buscando la manera de añadir un séptimo cigarrillo que toque a todos los demás. Tú le observas con atención, porque sabes que no es fácil, pero le dejas pensar. El problema le ha enganchado y pasa un buen rato dándole vueltas, pero al final no puede más y se rinde. Te sonríes, porque sigue sin fumar, y le das una pista para que no se desanime.

“Para añadir un séptimo cigarrillo a esa configuración, tendría que pasar por varias de las regiones que quedan entre los cigarrillos. Y eso es imposible sin doblarlo ni romperlo. Pero a lo mejor consigues colocar los seis de forma que tengan una región común a todos, por la que pasar el séptimo cigarrillo”.

Ya es hora de irse a casa, pero tu amigo sigue dándole vueltas al acertijo. Cuando llegas a casa te manda un mensaje con una imagen adjunta “He usado tu pista y ya lo tengo 🙂 ”

Siete cilindros tocándose mutuamente. Seis de ellos forman tres letras V alrededor de un hueco central. El séptimo pasa por ese hueco central, en perpendicular al plano de esas seis uves.

Antes de que puedas darle la enhorabuena te llega otro mensaje. “Lo que no sé es cómo hacerlo para ocho”. Vuelves a sonreirte y le contestas “Mañana te cuento…”

A la mañana siguiente tienes varios mensajes suyos preguntándote por el acertijo, así que te pasas por su casa y le cuentas. El reto de conseguir una solución con 6 cigarrillos era muy conocido en los años cincuenta y Martin Gardner, seguramente el más conocido divulgador de las matemáticas, lo incluyó en un uno de sus artículos en la revista Scientific American.

Para su sorpresa, unos cuantos lectores le escribieron enviándole la solución con siete cigarrillos. Puedes comprobarlo en la página 110 de su libro Hexaflexagons and other mathematical diversions (pdf).

Así que puedes estar satisfecho de tu ingenio, le dices a tu amigo. “¿Entonces he ganado la apuesta?” te pregunta. “Me temo que no del todo” le contestas. Porque no se sabe si siete cigarrillos es el mayor número que se puede conseguir. Nadie ha conseguido hacerlo con ocho, pero tampoco nadie ha demostrado que sea imposible.

De hecho es un problema en el que se sigue investigando, que tiene utilidad práctica en muchos campos de la Ciencia y la Tecnología. Si te interesa te lo cuento dentro de un poco… pero ahora vamos a tomar algo para celebrar el mes que vas a pasarte sin fumar 😛

Segundo acertijo, sin usar los extremos de los cigarrillos:

Fíjate en que todas las configuraciones anteriores utilizan los extremos de los cigarrillos. En 1968, Littlewood se preguntó qué pasa si no permites usar los extremos.

Para no preocuparte por la longitud puedes considerar que, en lugar de cigarrillos, tienes cilindros que se prolongan hasta el infinito por los dos lados. Así ya no puedes usar los extremos, porque no los hay, y tus cilindros infinitos solo pueden tocarse en los laterales. El nuevo acertijo es:

¿Cuántos cilindros infinitos iguales puedes colocar (sin doblarlos ni romperlos) de modo que cada uno toque a todos los demás?

Para hacer un poco de tiempo antes de empezar a enseñarte soluciones, déjame contarte que para este problema sí se conoce un “tope” de cilindros. András Bezdek ha demostrado que es imposible hacerlo con más de 24 cilindros. Puedes comprobarlo en su artículo On the Number of Mutually Touching Cylinders.

 

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Si dedicas un rato a jugar con este otro acertijo, seguro que acabarás encontrando una solución con seis cilindros infinitos. Por ejemplo, ésta es la configuración que proponen en el libro Research Problems in Discrete Geometry:

Seis cilindros infinitos tocándose mutuamente. La configuración consiste en un triángulo con sus tres alturas (rectas que unen cada vértice con el lado opuesto siendo perpendiculares a éste).

Durante muchos años ésta fue la mejor configuración conocida. A principios de los noventa, Kuperberg propuso lo que parecía una solución con ocho cilindros:

Ocho cilindros infinitos que parecen tocarse mutuamente. Los cilindros aparecen atados de dos en dos. Con tres de estos pares se forma un triángulo. Los otros dos pares son alturas de ese triángulo.

Durante bastantes años se pensó que esta solución funcionaba, pero en 2008 Gergely Ambrus y András Bezdek (el mismo de antes) demostraron que en ella hay dos cilindros que no se tocan. Puedes comprobarlo en su artículo On the number of mutually touching cylinders. Is it 8?

Así que el récord para los cilindros infinitos volvió a estar en 6. Hasta que, no hace muchos años, se descubrió cómo colocar 7 cilindros con esa condición. Un equipo de matemáticos, encabezado por Sándor Bozóki, proponen dos soluciones distintas en su artículo Seven mutually touching infinite cylinders (pdf):

Dos configuraciones con siete cilindros tocándose mutuamente. Ambas tienen un triángulo exterior. De uno de sus vértices salen tres cilindros hacia el lado opuesto. De otro de los vértices sale un solo cilindro hacia el lado opuesto.

Las ideas de este artículo no son demasiado complicadas y pueden seguirse con matemáticas pre-universitarias. Si te interesa, puedes encontrar más detalles en el artículo How many mutually touching cylinders can be arranged in 3D? que escribí para Mapping Ignorance.

(Bonus track) Una sorprendente utilidad:

Pero la historia del problema para cilindros infinitos no estaría completa sin hablar del equipo de físicos encabezado por Peter V. Pikhitsa y su estudio de los materiales augéticos.

Para entender lo que son estos materiales, agarra algún material que tengas a mano y estíralo. Lo habitual es que al estirarlo tu material se estreche, ¿verdad? Como hace por ejemplo una goma elástica, que adelgaza cuando la estiras.

Pues en estos materiales augéticos sucede justo lo contrario. ¡Cuando los estiras se ensanchan, engordan! Como puede parecer poco intuitivo, en este vídeo puedes comprobarlo por ti mismo:

Una utilidad muy gráfica es la fabricación de hilo dental que se ensancha al estirarlo, con lo que limpia mejor. Pero estos materiales augéticos tienen muchas otras propiedades interesantes, entre las que se puede destacar su mayor resistencia a las abolladuras y su gran capacidad de absorción del sonido.

Para aprender algo sobre materiales augéticos, me he leído el artículo Auxetic materials: the positive side of being negative y he descubierto que estos materiales aparecen, de forma natural o artificial, en muy diversos campos de la Ciencia y la Tecnología.

¿Te parece interesante? Pues ahora viene lo bueno. ¡¡Resulta que el problema de los cilindros infinitos está relacionado con el estudio de estos materiales augéticos!!

Para entender cómo, primero necesitas ser capaz de medir cuánto adelgaza o engorda un material al estirarlo. Esa medida se llama coeficiente de Poisson: Para una goma elástica (que adelgaza) ese coeficiente es positivo. Para un material augético (que engorda) ese coeficiente es negativo.

Para materiales con ciertas condiciones “razonables” (estables, isotrópicos y lineales), los valores del coeficiente de Poisson se mueven en un rango entre -1 y 0.5 . Por ejemplo, el de una goma elástica es casi 0.5, el del poliestireno es 0.3 y el del grafeno aproximadamente 0.15. El de una espuma polimérica augética, de las que se usan para insonorizar, puede ser de -0.7.

El equipo de físicos de nuestra historia buscaba la manera de construir una malla con coeficiente de Poisson -1, el más pequeño posible en ese rango. Y explicaron cómo en su artículo Auxetic lattice of multipods.

Figuras malla augética

Y aquí viene la relación con el problema de los cilindros infinitos: Para construir esa malla utilizaron cilindros que, en algunos puntos, se tocaban mutuamente. Cuantos más cilindros se tocaran  mutuamente, mejor. Y consiguieron encontrar una solución con 7 cilindros. (De hecho lo hicieron antes que los matemáticos, aunque a veces hay poca comunicación entre ramas de la Ciencia y éstos no se enteraron).

Moraleja:

Hasta los problemas que parecen un mero divertimento pueden acabar teniendo utilidad en la práctica. Ojalá en toda la sociedad, y en especial entre nuestros gobernantes, se tome conciencia de ello.

Nota 1: Esta entrada está en Menéame.

Nota 2: Esta entrada participa en la celebración, hoy 21 de octubre de 2014, en el #MGardner100th, el centenario del nacimiento de Martin Gardner.

Nota 3: Esta entrada participa en la Edición 5.7: Alan Turing del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog El zombi de Schrödinger.

Nota 4: Esta entrada participa en la Edición LVII del Carnaval de la Física del Carnaval de la Física, cuyo anfitrión es el blog Divulgación.

Nota 5: Esta entrada participa en el XL Carnaval de Química, alojado en el blog Ciencia explicada.

Nota 6: Este post participa en la XXXIII edición del Carnaval de Biología, que hospeda @CEAmbiental en su blog Consultoría y Educación Ambiental.

Nota 7: Esta entrada participa en el VII Festival de la Cristalografía, cuyo anfitrión es el blog Cristalografía, Química, Ciencia...

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Para saber más:

Para conocer mejor la obra de Gardner te recomiendo la muy completa página Martin Gardner Centennial. Desde ella puedes ir tirando del hilo hasta que te apetezca. También te recomiendo el artículo Martin Gardner, el hombre que convirtió a miles de matemáticos en niños y a miles de niños en matemáticos (pdf), de Fernando Blasco.

Si intentas construir la solución con 7 cigarrillos, ten en cuenta un pequeño detalle: Para que esa configuración funcione, se tiene que cumplir que la proporción entre la longitud y el diámetro de los cigarrillos sea mayor que (7sqrt{3}/2).

Si no pretendes que todos los cilindros tengan que ser iguales, entonces puedes ir un poco más allá en el problema. El equipo de físicos ha conseguido también configuraciones con 8 y 9 cilindros infinitos, en las que no todos tienen el mismo radio. Aunque sí pueden conseguir que, respectivamente, seis de ellos y tres de ellos sean iguales. Puedes comprobarlo en su artículo (en arXiv) Seven, eight, and nine mutually touching infinitely long straight round cylinders: Entanglement in Euclidean space.

Si te interesa comprobar el coeficiente de Poisson de algunos materiales, puedes hacerlo en la página Meaning of Poisson’s ratio.

Si los materiales augéticos te han parecido interesantes, puedes encontrar más información sobre ellos en auxetic.info y en los artículos A triumph of lateral thought o Auxetic textiles.

Imágenes:

La señal de salida de emergencia (una excusa para no hacer spoilers con la imagen principal) es una foto de Herr Olsen, en Flickr. Las imágenes de las soluciones para 6 y 7 cigarrillos aparecen en el libro de Martin Gardner. El resto de imágenes aparecen en el artículo o libro que se cita en cada caso.

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