Aunque pueda parecerlo, el título de esta entrada no es de una película de Pajares y Esteso, sino que viene de una pregunta que nos hizo pensar:

Si (sqrt{2}) es un número con infinitos decimales… ¿cómo es posible que, al definirlo como la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de tamaño (1), tenga un principio y un fin?

La respuesta quedó pendiente, pero como bloguero vuestro que soy os debo una explicación. Y esa explicación que os debo os la voy a pagar (léase con voz de Pepe Isbert).

Rodeado por sombras, la luz dibuja un triángulo rectángulo sobre una pared. En el límite entre el suelo y la pared, cerca del ángulo agudo, hay un montón de ropa.

Ponte el chándal de hacer bricolaje y acércate a la carpintería a por dos varillas de madera de longitud (1). Míralas, tócalas, dales la vuelta; está claro que tienen un principio y un final.

Ahora coloca tus varillas formando un ángulo recto; el Teorema de Pitágoras te dice que si las varillas miden (1) entonces la hipotenusa mide (sqrt{2}).

Triángulo rectángulo con ambos catetos de longitud 1 que, por el Teorema de Pitágoras, tiene hipotenusa de longitud raíz de 2

¿¿O sea, que si unes los dos extremos de la hipotenusa con otra varilla ésta medirá (sqrt{2})??

¡¡Pero si (sqrt{2}) tiene infinitos decimales, cómo va a ser la medida de una varilla!!

Seguro que ya imaginas que la clave es la precisión con que se miden las varillas.

Cuando en la carpintería te venden unas varillas de longitud (1), en realidad lo hacen con un cierto grado de precisión. Si pudieran medir con cien decimales de precisión, sabrías que tus varillas medirían (1.000…0) hasta el decimal número cien. Pero no sabrías lo que pasa en los siguientes decimales; allí podría haber dígitos distintos de cero.

Pues con esos cien decimales de precisión, la hipotenusa no mediría (sqrt{2}), sino (1.4142135623ldots 7), hasta el decimal número cien. Y sí que podrías tener una varilla con esa longitud.

Pero para que tus varillas midieran exactamente (1), el carpintero tendría que que poder medir con precisión infinita. La longitud de tus varillas sería (1.000ldots),  con infinitos decimales iguales a cero. Y entonces la hipotenusa sí valdría (sqrt{2}), con sus infinitos decimales.

Lo que pasa es que ni el carpintero, ni tú, ni yo, ni nadie, puede trabajar con precisión infinita. Por eso no podemos conseguir una varilla que mida (sqrt{2}) y por eso una pregunta como ésta nos hace pensar.

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Nota: Esta entrada participa en la edición 5.X: Sofia Kovalévskaya (te recomiendo leer la entrada) del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews, con la prolífica Marta Macho al frente.

Para saber más: 

La precisión arbitraria (que no infinita) es un campo de gran importancia en computación y ya apareció en la entrada Cómo calculan la hipotenusa un matemático y un ingeniero, muy relacionada con ésta. Allí puedes ver algunos enlaces interesantes.

También es muy interesante cuestionarse cómo el infinito puede existir o concebirse. La entrada Infinito potencial e infinito actual de la Wikipedia puede ser una buena introducción. También puede interesarte, por ejemplo, el artículo El concepto de infinito, de José Ramón Ortiz. Y no deberías dejar de leer Los objetos matemáticos no existen, de César Tomé.

Si quieres convencerte de que (sqrt{2}) tiene infinitos decimales, en la entrada Primos, raíces y una propuesta irracional para numerar el carnaval puedes encontrar una demostración de que (sqrt{p}) es irracional para cualquier (p) primo. También puedes comprobar esta demostración de que si (n) no es un número al cuadrado entonces (sqrt{n}) es irracional o estas dos demostraciones de la irracionalidad de raíz de dos.

Otra observación interesante es que aunque un número tenga infinitos decimales, eso no significa que sea infinitamente grande. Estarás de acuerdo en que [color{blue}{1}<2<color{blue}{4}] y entonces resulta que [color{red}{1}=sqrt{color{blue}{1}}<sqrt{2}<sqrt{color{blue}{4}}=color{red}{2}](porque la función “raíz cuadrada” es monótona). Por tanto, (sqrt{2}) está entre (color{red}{1}) y (color{red}{2}), por lo que no puede ser un número infinitamente grande.

La pregunta de esta entrada la hizo alex en un comentario a otra entrada con decimales. Mi respuesta original, un poco más corta, fue en este comentario. Después decidí lanzar al aire la pregunta y es de justicia agradecer a quienes contestaron porque, de uno u otro modo, ellos han participado en que esta entrada sea como es. ¡Gracias a todos por ayudarnos a seguir aprendiendo!

Por ejemplo, Nacho invitaba a plantearnos una pregunta parecida: ¿Por qué una circunferencia de radio (1) tiene principio y final, si su longitud es (2pi) y este número tiene infinitos decimales?

Otra cuestión relacionada es la igualdad (1=0.999ldots), que propusieron José Ángel y Joseángel, y de la que puedes informarte en esta entrada de Gaussianos.

Por su parte, Javier y Elisa incidieron en que (sqrt{2}) está acotado pese a tener infinitos decimales.

La cuestión de la precisión la apuntó El zombi de Schrödinger y Tomás nos avisó de que nuestras varillas de longitud 1 también pueden tener infinitos decimales.

Tanto Valmhö como Fernando apuntaban hacia la paradoja de Aquiles y la tortuga, o cómo una suma infinita puede dar un resultado finito.

Por último, JJ Rodríguez nos planteó si el tener infinitos decimales dependerá de la base de numeración elegida (puedes pensar qué pasaría si no fuera así…)

Imágenes: 

La imagen del triángulo rectángulo dibujado por la luz es de Mariela~, en Flickr. La otra imagen es de creación propia. Ambas tienen licencia Creative Commons.

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