Hay un problema matemático sin resolver en tu piscina

Hay un problema matemático sin resolver en tu piscina

Puede que ya hayas oído hablar de Paul Erdős, un matemático famoso por proponer problemas muy fáciles de explicar, con aspecto inofensivo, pero que luego resultan endiabladamente difíciles de resolver. El problema de esta entrada es uno de ellos. Es tan fácil de explicar que podrás buscar una solución mientras chapoteas en la piscina, pero es tan difícil de resolver que nadie lo ha conseguido desde 1946.

Estás en la piscina y has terminado de leer el libro que traías. Ya hace un rato que has repasado (disimuladamente) al resto de bañistas y empiezas a aburrirte. Distraído, te descubres con la mirada fija en las ondas que el chapoteo de un niño ha dejado en el agua.

Ondas como círculos concéntricos en el agua

Como no se te ocurre nada mejor que hacer, decides sentarte un rato en el borde de la piscina. Mientras chapoteas con el pie, vuelves a quedarte mirando las ondas que se forman. Tras practicar un par de veces, le encuentras el truco y eres capaz de dar un golpe seco con el que las ondas forman circunferencias concéntricas, casi perfectas.

Orgulloso, contemplas tus ondas y te da por fijarte en que avanzan tocando en dos puntos el borde de la piscina:

Pocas ondas en piscina convexa

Aprovechas un momento en que la piscina se vacía para probar un golpe más fuerte, con el que consigues que las ondas atraviesen toda la piscina. Y descubres, entusiasmado, que las ondas siempre chocan con el borde en dos puntos:

Muchas ondas en piscina convexa

Por si acaso, pruebas a chapotear en varios sitios más (siempre en el borde) y compruebas que en todos ellos sucede lo mismo.

Te queda la duda de si será así en todas las piscinas, así que al día siguiente decides repetir el experimento en la piscina de natación. Te sientas en un lateral, ejecutas tu famoso golpe de pie y te fijas en que las ondas empiezan chocando con el borde en dos puntos, pero hay un momento en que pasan a chocar en cuatro puntos:

Ondas desde lateral en piscina rectangular

Intrigado, pruebas a chapotear en una esquina en lugar de un lateral y, para tu sorpresa, descubres que al chapotear desde allí ninguna onda choca en más de dos puntos:

Ondas desde vértice en piscina rectangular

Mientras vuelves a casa una pregunta salpica tu cabeza:

Si chapoteas en el borde de una piscina, ¿en cuántos puntos pueden chocar las ondas con el borde?

Esa misma noche, tomando algo en una terraza, se te ocurre preguntarle a tu amigo el que estudió arquitectura. Lo piensa un poco y su respuesta te desconcierta: «Dime cuántos puntos de choque quieres y te dibujo una piscina donde conseguirlos».

Incrédulo, le pides una piscina con diez puntos de choque y te prepara este dibujo en una servilleta:

Ondas en piscina estrellada

Te abstienes de preguntarle si ha construido alguna piscina así (cosas más raras has visto) y te centras en analizar el dibujo. Al instante te das cuenta de que la clave son esos «entrantes» que parten las ondas en varios trozos, como un tajamar en un puente.

Entonces le preguntas otra vez a tu amigo el arquitecto: ¿Y qué pasaría en una piscina «sin entrantes»? Él te explica que lo de «sin entrantes» es poco riguroso y que es mejor llamarle convexo. Te enseña un ejemplo de una piscina cuyo borde sí es convexo

Piscina cuyo borde sí es convexo

y otro ejemplo de una piscina cuyo borde no es convexo

Piscina cuyo borde no es convexo

 Ya lo tienes más claro que el agua, así que cambias tu pregunta:

¿Si chapoteas en el borde de una piscina convexa, en cuántos puntos pueden chocar las ondas con el borde?

El bueno de tu amigo empieza a sudar más de la cuenta y, aunque le cuesta un rato, acaba reconociéndote que no sabe la respuesta.

Por suerte, en ese momento llega vuestro amigo el matemático. Él tampoco conoce la respuesta, pero la pregunta le recuerda a una entrada que ha leído hace poco en un blog de ciencia. La busca en su móvil y lo que os cuenta te parece fascinante.

Resulta que tu pregunta ya se la planteó (aunque sin pensar en piscinas) uno de los matemáticos más importantes de la historia en 1946. El tal Erdős al principio creyó que siempre se podía encontrar un sitio en el que chapotear sin que las ondas chocaran en más de dos puntos (como hiciste en tu piscina de natación).

Pero para acertar mucho también hay que equivocarse alguna vez… y en esta ocasión Erdős se equivocaba. El matemático os cuenta que, si la piscina tiene forma de triángulo acutángulo te da igual en qué punto del borde chapotees, que en algún momento tus ondas van a chocar con el borde en cuatro puntos. Termina de convencerte con una construcción interactiva.

Además resulta que matemáticos de todo el mundo siguen intentando resolver el problema. Este mismo año unos investigadores han publicado una figura (convexa) para la que, chapoteando desde cualquier punto del borde, las ondas siempre acaban chocando en seis puntos.

Antes de pedir otra ronda, vuestro amigo os aclara que esto no resuelve el problema. Nadie sabe (aún) si la respuesta es seis o si existe una forma convexa para la que ese número sea más grande.

Cuando un par de rondas más tarde os despedís, todos te felicitan por tu capacidad para hacerte preguntas. Vuelves a casa pensando en hacer algunos dibujos. Te encantaría batir el récord y descubrir uno en que las ondas acaben chocando con el borde en más de seis puntos. Si lo consigues, piensas, quizá te hagas famoso y puedas construir la piscina de tus sueños

Piscina con forma de guitarra

Aunque no sea convexa, mientras la imaginas no puedes evitar preguntarte ¿en qué punto habría que chapotear en esta piscina para que las ondas chocaran el mayor número de veces posible?

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Nota: Esta entrada ha llegado al Olimpo en Divoblogger.

Fotografías: La fotografía de las ondas en el agua está tomada de José Paulo da Silva Ferreira, en Flickr. La fotografía de la piscina convexa está tomada de Michael Coghlan, en Flickr. La fotografía de la piscina no convexa está tomada de Nayu Kim, en Flickr. La fotografía de la piscina con forma de guitarra está tomada de Wicker Paradise, en Flickr.

Para saber más:

Si no tienes claro lo que es convexo y lo que no, quizá te ayude mirar estos otros ejemplos de piscinas convexas y de piscinas no convexas.

Erdős está considerado el matemático más prolífico de la historia, junto con Leonhard Euler. Parece que Erdős publicó más artículos, unos 1525 y la mayoría junto con otros investigadores, mientras que Euler publicó más páginas, la mayoría en solitario.

Erdős también era un poco excéntrico; una buena muestra aparece en el prólogo del libro Research Problems in Discrete Geometry, donde viene a decir:

Con la Geometría Discreta me pasa como con la pornografía; no sería capaz de definirla, pero soy capaz de reconocerla en cuanto la veo.

Aunque la cita no es literal, sí subyace elegantemente en el texto. La comparación tampoco es original de Erdős, quien refiere a su uso por un juez de la Corte Suprema de los Estados Unidos.

También es interesante el epitafio que, según el libro The man who loved only numbers, escribió para sí mismo:

Finally I am becoming stupider no more.

Si tienes curiosidad sobre la vida de Paul Erdős, puedes leer la entrada que sobre él escribió Clara Grima. Si quieres saber más sobre su trabajo en matemáticas, puedes encontrar muchos de sus artículos (no he comprobado si están todos) en la página The Erdős Project, que descubrí gracias a una entrada de Gaussianos. También es muy interesante la página The Erdös Number Project, donde puedes probar a calcular tu número de Erdős (o el de tu profesor ;-)).

Si prefieres ver y escuchar a Erdős en acción, te recomiendo este vídeo en el que cuenta una broma sobre Simon Sidon. Si tienes más tiempo, puedes disfrutar de este reportaje de la BBC sobre él.

Por último, déjame decirte que esta entrada está basada en la entrada Advances on an Erdős problem on convex boundaries, que escribí para Mapping Ignorance. Allí hay mucha más información, un poco más técnica pero con la que puedes profundizar en este problema. En particular, explica un poco más sobre ese artículo publicado recientemente con una figura convexa en que las ondas siempre acaban chocando en seis puntos.

 



13 respuestas a «Hay un problema matemático sin resolver en tu piscina»

  1. Avatar de MCharly
    MCharly

    Para mi la respuesta es en infinitos puntos. Siempre habrá un radio de onda que se pueda inscribir en el radio del borde de la piscina por movidas de la tensión superficial y tangentes en el borde. En mi cabeza me lo imagino muy bien jeje.

    1. Avatar de David Orden

      @1 MCharly ¿Y si las ondas son circunferencias y la piscina no es circular?

  2. Avatar de cupraboy
    cupraboy

    Es un tema muy interesante, pero habiendo leido su artículo en Mapping ignorance y viendo como resolvieron el problema Bárány y Roldán-Pensado está claro que es un problema que se escapa de ser resuelto por el común de los mortales. Por cierto, me asalta la duda de como llegaron a esa figura, si por medios puramente matemáticos o emplando geometría.

    1. Avatar de David Orden

      @3 cupraboy: No era mi intención presionar para que alguno de los lectores lo resolviera 🙂

      Pero nunca se sabe, en este tipo de problemas una idea afortunada puede ser más útil que muchos conocimientos. La complicación se esconde en demostrar que «en todos los puntos» del borde pasa lo que se quiere.

      En cuanto a la figura, en el artículo no hablan de cómo llegaron a ella; en matemáticas sólo se publican los resultados, las ideas que no funcionan no suelen salir a la luz 🙁

      La demostración es geométrica y se basa en un par de herramientas que vienen a demostrar que hay zonas donde se puede colocar un punto para que pase lo que se quiere.

  3. Avatar de Cornelius
    Cornelius

    @ David Orden

    Hay una frase que me ha chocado: «…te fijas en que las ondas empiezan chocando con el borde en dos puntos, pero hay un momento en que pasan a chocar en cuatro puntos».

    Antes de pasar de dos puntos de corte a cuatro pasaría por tres, a no ser que la piscina fuera triangular.

    1. Avatar de David Orden

      @5 Cornelius: Tiene usted toda la razón; ese «momento en que pasan a» es precisamente cuando chocan en tres puntos. Como es sólo un instante, me pareció mejor no meterme en ese charco. Muchas gracias por observarlo 🙂
      Además, la cuestión tiene bastante miga detrás; la multiplicidad de intersección de curvas algebraicas.

  4. Avatar de MCharly
    MCharly

    Yo lo comparo con el mar. Fijate en cualquier playa como rompen las olas, estas tienden a romper todas a la vez al llegar al borde. Si el borde es desigual, estas tienden a adaptarse, no dejan de ser transportadas en un fluido bastante denso. El problema que expones es demasiado ideal aunque se puede realizar en la vida real. Por cierto, acabo de leer que un millonaria americano ofrece 1 quilito de dolares a quien pruebe su conjetura: «La Conjetura de Beal» establece que las únicas soluciones a la ecuación Ax By = Cz -cuando A, B y C son números enteros positivos, y x,y y z son números enteros positivos mayores que 2- son aquellas en las cuales A, B y C tienen un factor común.

  5. Avatar de Albert
    Albert

    Buenas!

    Muy interesante esta entrada! Al ver fluídos y ondas me recuerda a las clases de acústica, es igual pero en vez de la propagación de la onda a través de un plano que es la lámina de agua, se trata la propagación del sonido a través del volumen que ocupa el auditorio. Entiendes entonces por qué auditorios de antes de 1950 tan mal pensados organizativamente y sin estudio acústico, como puede ser el Palacio de la Música Catalana en Barcelona, es tan bueno acústicamente, porque tiene tantos adornos que al final no hay reverberación (eco), el sonido que llega al oyente es el directo, las reflexiones se han perdido, se han atenuado demasiado.
    Entonces estoy de acuerdo con #1, si fuese una piscina de forma circular y las ondas se propagasen de forma concéntrica a dicha piscina, llegaría un momento en que el anillo de la onda y el perímetro de la piscina sería coincidentes. Si tenemos en cuenta que una circunferencia es un polígono de infintos lados, ya tenemos los infinitos puntos de corte. Es verdad que así es muy fácil pero, ¿se puede afirmar que una recta es una circunferencia de radio infinito (como las olas del mar)? Digo yo que sí, entonces ya tenemos además de un absurdo, otro caso. Por lo demás, me parece muy complicado!
    Había un programa que te analizaba en plano mediante simulación las reflexiones del sonido en una sección dada, como pelotas que rebotan, era divertido y estaría bien para este tema.

    Saludos!

    1. Avatar de David Orden

      @8 Albert: Muchas gracias, reconforta ver que el tiempo dedicado tiene recompensa con la atención de los lectores 🙂

      En cuanto a la piscina de forma circular; si las ondas son circunferencias, habría que chapotear en el centro de la piscina para que una onda llegara a tocar en todo el perímetro de la piscina. Por eso el problema se pregunta por ondas generadas en el borde de la piscina.

      Se podría pensar en una piscina con forma de «cuña de queso»; en ese caso al chapotear en el vértice se generarían ondas circulares que acabarían tocando a la «corteza del queso» en infinitos puntos. Pero siempre podríamos hacer como en el ejemplo de la piscina de natación; al chapotear desde otro punto dejaría de pasar esto.

  6. Avatar de cupraboy
    cupraboy

    La dificultad del problema es encontrar un polígono convexo en el que, desde cualquier punto del perímetro, se toquen más de 6 puntos. Desde un punto concreto no es difícil. De ahí lo que se comentaba al principio del post sobre la capacidad de Erdős de plantear problemas aparentemente fáciles pero de difícil resolución.

  7. […] estés pensando qué pasa si el cuarto tiene que ser convexo (puedes mirar la entrada sobre el problema sin resolver en tu piscina). ¿Te atreves a dar una solución en ese […]

  8. Avatar de JACQUELINE
    JACQUELINE

    PISCINA REDONDA, TABLA DE TANPOLÍN QUE LLEGUE AL CENNTRO, DAR UN GOLPE DE PIE MUY PRECISO EN EL CENTRO DE LA PISCINA ,, ESO EMITIRÁ ONDAS CONCÉNTRICAS AL IGUAL QUE UNA GOTA , LAS ONDAS SE ACERCARAN LENTAMENTE A LA ORILLLA TOPANDO UNIFORMEMENTE EN MUCHOS PUNTOS A LA VEZ, EL ÚLTIMO ANILLO DEBE TOPAR TODO EL CONTORNO,,

  9. Avatar de Gazi
    Gazi

    Se la respuesta. Quiero hablar con alguien con quien pueda explicar la respuesta. Ilikgazi@gmail.com

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Soy profesor del área de Matemática Aplicada en la Universidad de Alcalá. Me interesa aprender y ayudar a aprender. Me gusta conectar las matemáticas con otros campos. Cuento cosas en Twitter como @ordend. Tengo una página profesional con más información.

Sobre el blog

Este blog trata sobre matemáticas, miradas desde distintos puntos de vista. Pretende ser cooperativo, porque seguro que hay algo de lo que sabes más que otros y, aunque no lo hayas pensado nunca, tiene matemáticas detrás. Queremos pasarlo bien jugando a pensar y ayudarnos entre todos a aprender cosas. Puedes seguir a @cifrasyteclas en Twitter o visitarnos en Facebook.

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