Piensa dos números naturales consecutivos. ¿Los tienes? Ahora eleva esos números al cuadrado. ¿Hay algún número primo entre esos dos cuadrados? Si has respondido que no, enhorabuena, ¡¡habrás resuelto un problema que lleva sin resolver desde hace muchos, muchos años!!

Ese problema consiste en decidir si es cierta o no la Conjetura de Legendre, que dice que:

Dados dos números naturales consecutivos (n) y (n+1), entre sus cuadrados (n^2) y ((n+1)^2) siempre se puede encontrar un número primo (p).

Por ejemplo dados (4) y (5), entre sus cuadrados (16) y (25) podemos encontrar el número primo (17).

Esta conjetura, atribuida a Adrien-Marie Legendre (1752-1833), es uno de los problemas abiertos más importantes sobre números primos. Forma parte de los conocidos como problemas de Landau, enunciados por Edmund Landau en 1912 durante una intervención en el International Congress of Mathematicians, el congreso más importante de matemáticos.

Ahora vamos a escribir de otra manera la conjetura de Legendre:

Para cualquier número natural (n) podemos encontrar un número primo (p) que cumple [n^2<p<(n+1)^2.]

Por ejemplo, para el número (4) podemos encontrar el número primo (17) que cumple (16<17<25.)

Si tomamos la raíz cuadrada en las desigualdades anteriores, al ser una función monótona creciente obtenemos que:

Para cualquier número natural (n) podemos encontrar un número primo (p) que cumple [n<sqrt{p}<n+1.] Es decir, podemos  encontrar un número primo (p) cuya raíz cuadrada “se cuela” entre  (n) y (n+1).

Por ejemplo, para el número (4) podemos encontrar el número primo (17) que cumple (4<sqrt{17}<5.) Esto se deduce de las desigualdades del paso anterior, pero si no te lo crees puedes comprobar que (sqrt{17}approx 4.12310562561ldots)

Y resulta que las raíces cuadradas de los números primos son números un tanto particulares:

La raíz cuadrada de cualquier número primo es un número irracional. Es decir, para (p) primo (sqrt{p}) tiene infinitas cifras decimales no periódicas.

Por ejemplo, (sqrt{17}approx 4.123105625617660549821409855974077025147199225373620ldots) tiene infinitas cifras decimales no periódicas (sin que haya un patrón que se repita indefinidamente).

Si has ido siguiendo el blog  ya estarás suficientemente entrenado en esto de las matemáticas… así que voy a intentar convencerte de que el resultado es cierto. Hace falta un pelín de concentración, pero no es difícil ;-).

  1. Si (sqrt{p}) no fuera irracional, entonces sería un número racional, es decir, sería una fracción (sqrt{p}=frac{a}{b}).
    Por ejemplo, imagina que (sqrt{p}) se pudiera poner como (sqrt{p}=frac{75}{28}) (¡¡OJO!! esto es sólo un ejemplo para que se entienda mejor).
  2. Si elevas al cuadrado lo anterior obtienes que (p=frac{a^2}{b^2}) y por tanto [pcdot b^2 = a^2.]
    En nuestro ejemplo tendríamos que (p=frac{75^2}{28^2}) y por tanto (pcdot 28^2=75^2).
  3. Si calculas la factorización en primos de (a) (aquello de descomponer en producto de primos que te enseñaron en el colegio),  verás que los números primos pueden aparecer un número par de veces o un número impar de veces.
    En nuestro ejemplo (75=3cdot 5cdot 5); el (3) aparece un número impar de veces y el (5) aparece un número par de veces.
  4. Si elevas al cuadrado lo anterior, verás que en (a^2) todos los primos aparecen un número par de veces (el doble de veces que antes).
    En nuestro ejemplo (75^2=3cdot 3 cdot 5cdot 5cdot 5cdot 5); ahora todos los primos aparecen un número par de veces.
  5. De la misma manera, puedes ver que para (b^2) pasa lo mismo.
    En nuestro ejemplo (28^2=2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 7cdot 7); todos los primos aparecen un número par de veces.
  6. Ahora fíjate otra vez en el paso 2, que decía que [pcdot b^2=a^2.] ¿Cuántas veces aparece (p) a la derecha de la igualdad? Por el paso 4, tiene que aparecer un número par de veces.
    En nuestro ejemplo, (75^2=3cdot 3 cdot 5cdot 5cdot 5cdot 5) así que; o bien (p) no es ni (3) ni (5) y entonces aparece cero veces, un número par, o bien (p) es (3) ó (5) y entonces también aparece un número par de veces.
  7. ¿Y cuántas veces aparece (p) a la izquierda de la igualdad? Por el paso 5, tiene que aparecer un número impar de veces.
    En nuestro ejemplo, (pcdot 28^2=pcdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 7cdot 7) así que; o bien (p) no es ni (2) ni (7) y entonces aparece una vez, un número impar, o bien (p) es (2) ó (7) y entonces también aparece un número impar de veces.
  8. Pero si (p) aparece un número impar de veces a la izquierda y un número par de veces a la derecha… ¡¡entonces lo de la izquierda no puede ser igual que lo de la derecha!!
  9. Como todos los pasos anteriores son correctos, lo que tiene que fallar es el paso 1. Es decir, que (sqrt{p}) no puede ser racional.

Así, si la conjetura de Legendre es cierta, para cada número natural (n) podemos encontrar un número irracional de la forma (sqrt{p}) entre (n) y (n+1) con el siguiente método:

Elige el primer primo (p) entre (n^2) y ((n+1)^2) (según la conjetura siempre habrá uno) y toma (sqrt{p}).

Por ejemplo, entre (4) y (5) hemos encontrado el

[sqrt{17}approx 4.123105625617660549821409855974077025147199225373620ldots]

que puede servir para numerar las ediciones del cuarto año del Carnaval de Matemáticas, siguiendo el espíritu del tercer año, en el que se utilizaron los decimales de (pi).

Dígitos coloridos del número pi

Además, si quisiéramos seguir usándolo para numerar las ediciones del quinto año del Carnaval también podríamos, porque entre (5) y (6) tendríamos el

[sqrt{29}approx 5.385164807134504031250710491540329556295120161644788ldots]

Y así podríamos seguir mientras la conjetura de Legendre se cumpla, lo que parece estar comprobado al menos hasta (n=10^{18})… ¡¡unos cuantos años más de lo que cualquiera de nosotros pueda imaginar!! 🙂

Puedes seguirnos en Twitter, Facebook y Google +.

Imagen: fdecomite en Flickr.

Nota 1: Esta entrada participa en la edición 4.1 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

Nota 2: Esta entrada se pudo votar en Divúlgame.

Nota 3: Esta entrada se usará para numerar las ediciones del cuarto año del Carnaval de matemáticas.

Para saber más:

Te recomiendo que sigas el Carnaval de Matemáticas, en esta edición, en todas las anteriores y en las que están por venir. Encontrarás muchas entradas interesantes escritas con cariño por gente que sabe mucho y tiene muchas ganas de enseñar.

Sobre los problemas de Landau, te recomiendo la (muy buena) entrada Los problemas de Landau, después de 100 años “nada nuevo bajo el sol” de Gaussianos.

En particular, es interesante que conozcas el postulado de Bertrand, enunciado en 1845 y demostrado por Chebyshov en 1850, que dice que:

Para cualquier número natural (n>1) podemos encontrar un número primo (p) que cumple [n<p<2cdot n.]

También es interesante saber que, aunque la conjetura de Legendre continúa abierta, J. R. Chen demostró en 1975 que:

Para cualquier número natural (n), entre sus cuadrados (n^2) y ((n+1)^2) siempre se puede encontrar un número primo (p) o un número semiprimo (producto de dos primos) (m).

Además, también debes saber que en realidad no hace falta tomar la raíz cuadrada de un primo para tener un número irracional. Bastaría con tomar la raíz cuadrada de casi cualquier número, porque

La raíz cuadrada de cualquier número que no sea un cuadrado perfecto es un número irracional.

Puedes comprobar esta demostraciónésta otra.

Para saber más sobre el número de primos entre (n^2) y ((n+1)^2) puedes mirar la secuencia A014085 en The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. También es interesante la secuencia A007491, que para cada (n) contiene el primer primo entre (n^2) y ((n+1)^2).

Por último, si quieres saber cómo se numerarían según esta propuesta las ediciones del carnaval hasta su edición número 99, puedes consultar los cálculos en esta hoja de Sage. Para el centenario ya habría que buscar algo diferente ;-).

Share This