Seguro que ya has visto alguna que otra ilusión óptica. ¿Te apetece sorprenderte con objetos en 3D que parecen imposibles? ¿Y, mejor aún, entender las matemáticas que permiten construirlos? Si te animas, te llevarás un kit para construir tu propio objeto “imposible” tridimensional. Si conoces los trabajos de Escher, ya sabrás que las matemáticas y las ilusiones ópticas están muy relacionadas. Un buen ejemplo son las anamorfosis, imágenes deformadas que cobran sentido cuando se las mira desde un punto concreto. Anamorfosis Museo de Historia de Hong Kong: Dibujo en el suelo que visto desde una esquina concreta muestra, con asombroso realismo, una imagen tridimensional que es una interpretación de los guerreros de terracota. Como ésta, la mayoría de ilusiones ópticas son imágenes en 2D (aunque algunas provoquen una impresión tridimensional). Pero también hay ilusiones ópticas en 3D; objetos sólidos que existen, se pueden construir y nos sorprenden cuando los miramos desde un punto de vista especial.

Pocos ejemplos hay más sorprendentes que las creaciones del profesor Kokichi Sugihara, así que te recomiendo que no te pierdas el siguiente vídeo. Aparecen bolas que “caen hacia arriba” y barras que atraviesan agujeros “hacia uno y otro lado” sin doblarse.

El vídeo gira las figuras para mostrarnos el truco, que consiste en encontrar un punto de vista desde el que ese objeto 3D parezca diferente a como es en realidad. Y para encontrar ese punto de vista especial… se usan matemáticas.

La idea es la siguiente: Quieres hallar un punto desconocido y sabes que tiene que cumplir ciertas propiedades, para que la imagen se vea como te interesa. ¿Te recuerda a algo? Se parece mucho a los sistemas de ecuaciones; en ellos desconoces las soluciones y éstas deben cumplir una lista de ecuaciones. Y así es como vas a poder hallar ese punto de vista tan particular, con un sistema. Solo que, además de ecuaciones, tu sistema va a tener también inecuaciones.

¿Pero qué es una inecuación?

Pues simplemente una desigualdad entre dos expresiones. Algo parecido a una ecuación, pero cambiando la igualdad por una desigualdad. Por ejemplo (x+2y=5) es una ecuación, mientras que (x+2y<5) es una inecuación. ¿Fácil, no? Si quieres entender mejor las ecuaciones e inecuaciones, siempre viene bien regarlas con un poco de geometría. Por ejemplo, los puntos del plano 2D que cumplen la ecuación (y=3) forman una recta horizontal, mientras que los puntos que cumplen la inecuación (y<3) forman la región por debajo de esa recta. Sobre una cuadrícula, que incluye los ejes coordenados, recta horizontal y=3 en color rojo y región y<3 en color morado. Otro ejemplo; los puntos del plano 2D que cumplen la ecuación (x+2y=5) de antes también forman una recta (que ya no es horizontal), y los puntos que cumplen la inecuación (x+2yleq 5) forman la región que queda a uno de los lados de esa recta; en este caso “debajo y a la izquierda” (incluyendo la recta, por el igual del (leq) ). Sobre una cuadrícula, que incluye los ejes coordenados, recta inclinada x+2y=5 en color rojo y región x+2y<=5 en color morado. También se puede hacer lo mismo en el espacio 3D, que es el que nos interesa. En ese caso los puntos que cumplen la ecuación (2x+3y+5z=4) van a formar un plano (que es el equivalente en 3D a una recta en 2D), mientras que los puntos que cumplen la inecuación (2x+3y+5z < 4) formarán la región que queda a uno de los lados de ese plano. Acuérdate de esto, porque enseguida va a aparecer de nuevo.

¿Y cómo se usan ecuaciones e inecuaciones para construir objetos “imposibles”?

Imagina que quieres construir la escalera de Penrose, quizá el objeto “imposible” más clásico: Cuando la recorres en el sentido de las agujas del reloj, nunca dejas de bajar escalones, y al revés sucede lo contrario. Escalera cerrada y de planta cuadrada en la que, si se recorre en el sentido de las agujas del reloj, siempre se bajan escalones (al revés en el sentido contrario a las agujas del reloj). Si te fijas en el punto v, comprobarás que está en la cara A y también en la cara B. Si te fijas en el punto w, comprobarás que está detrás de la cara A y delante de la cara C. También está detrás de la cara B.

Haciendo esto con todos los vértices y todas las caras, obtendrás una lista de condiciones. Y aquí vienen otra vez las matemáticas. Las condiciones del tipo el punto v está en la cara A te dicen que un punto está en un plano. Espera… ¿Un punto que está en un plano? ¡¡Eso ya lo has leído antes!! Era lo que pasaba con las ecuaciones como (2x+3y+5z=4) (ecuación lineal con tres variables).

Y las condiciones del tipo el punto w está por detrás de la cara A te dicen que un punto está a un lado de un plano. ¡¡Eso también lo has leído antes!! Era lo que pasaba con las inecuaciones como (2x+3y+5z < 4).

Con un poco de cuidado (detalles en la sección “Para saber más”), puedes convertir esa lista de condiciones en un sistema de ecuaciones e inecuaciones. Ya solo te hará falta resolver ese sistema y así encontrarás aquel punto de vista “mágico” que andabas buscando. Escalera de Penrose construida: Modelo sólido de la escalera de Penrose, observado desde dos puntos de vista. En el de la izquierda se ve el objeto como imposible. En el de la derecha se comprueba que sí es posible. Si no te quieres complicar demasiado, siempre puedes usar los kits del profesor Sugihara para construir tu propio objeto “imposible” y buscar a ojo desde qué punto mirarlos… Eso sí, no olvides mandarnos fotos 😉

Recuerda que puedes seguirnos en Twitter, en Facebook y en Google +.

Nota 1: Esta entrada ha llegado al Olimpo en Divoblogger. ¡Gracias!

Nota 2: Quiero agradecer al profesor Sugihara su amabilidad permitiéndome utilizar el vídeo y una de sus imágenes. Thanks!

Nota 3: Esta entrada participa en la Edición 5.5: Ronald Fisher del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es PiMedios.

Para saber más:

Si te interesan las ilusiones ópticas, puedes encontrar unas cuantas en esta entrada de Microsiervos. También te recomiendo consultar la página en inglés de la Wikipedia y los enlaces que aparecen al final. Son especialmente desconcertantes las que aparecen en la página del profesor Akiyoshi Kitaoka y un blog recomendable es el de Richard Wiseman.

También te recomiendo la charla ¿Certeza? ¿Engaño?… ¿Paradoja? de Marta Macho, de la que están disponibles las transparencias, así como la entrevista a Sugihara en Ilusión visual: el tejado que desafía la gravedad y la entrada Diez ilusiones visuales explicadas y una sin explicación. Y es muy interesante este videoclip de OK Go que se ha hecho famoso en los últimos días.

Una de las cosas que más ilusión me hace de este blog es que lo sigue todo tipo de gente. Sé que algunos de ellos no pueden disfrutar de las ilusiones ópticas y por eso he buscado también algunas interesantes ilusiones acústicas o auditivas. Puedes disfrutar de ellas en Cinco grandes ilusiones auditivas, en Las mejores ilusiones auditivas o en esta entrada de Gizmodo.

De vuelta a las matemáticas, en español lo habitual es diferenciar entre una “inecuación” y una “desigualdad” en función de que haya o no incógnitas. En inglés, en cambio, se suele usar “inequation” para las expresiones con el símbolo (neq), mientras que se usa “inequality” para las que tienen un símbolo de desigualdad (como las de esta entrada).

Si quieres profundizar en los sistemas de inecuaciones, puedes empezar por estos materiales de Sangakoo o consultar los materiales del proyecto Descartes. También puedes consultar estos materiales de la Universidad de Zaragoza o este capítulo de libro sobre sistemas de ecuaciones y sistemas de inecuaciones. Si te interesa resolver sistemas más complejos, puedes consultar la tesis Solving Systems of Linear Inequalities, de Shy-Huei-Chen.

Antes te dije que había que tener cuidado para convertir la lista de condiciones en un sistema de ecuaciones e inecuaciones. El procedimiento es el siguiente: Estableces como origen de coordenadas de ese espacio 3D el punto de vista que estás buscando y proyectas sobre el plano (z=1) el objeto que estás viendo. A la izquierda de la imagen, origen y ejes coordenados en 3D. A la derecha de la imagen, un hexaedro. En el medio, la proyección del hexaedro sobre el plano z=1 para ese punto de vista. Para cada vértice v conoces las coordenadas ((x_v,y_v,1)) de su proyección [v], pero desconoces la distancia (t) entre tu vértice v y el origen. También desconoces los coeficientes (a,b,c) de los planos (ax+by+cz+1=0) que contienen a cada cara f. Eso hace que, en realidad, tus ecuaciones e inecuaciones sean lineales con cuatro incógnitas (y no con tres como podía parecer). Los detalles completos están en el artículo Design of solids for antigravity motion illusion de Sugihara.

Para las rampas que aparecen al final del vídeo, ésas donde las bolas parecen contradecir la ley de la gravedad, resulta que el sistema de ecuaciones e inecuaciones no tiene solución. Así que para encontrar el punto de vista adecuado hay que trabajar un poco más. Puedes encontrar la idea en la entrada How to create the illusion of antigravity motions, que escribí en Mapping Ignorance, y todos los detalles otra vez en el artículo de Sugihara.

Imágenes:  La imagen de la anamorfosis es de Denfayeharies, en Wikimedia Commons. La imagen de la escalera de Penrose es una modificación propia sobre una imagen de Sakurambo, en Wikimedia Commons. Las imágenes de la escalera de Penrose construida y del punto de vista como origen de coordenadas son de Kokichi Sugihara y se utilizan con su permiso, al igual que el vídeo. El resto de imágenes son de creación propia.

Share This