En un comentario a la anterior entrada, Ismael planteaba una pregunta que había surgido en su foro:

¿Cuál es la probabilidad de que en tu matrícula se repita algún número?

La respuesta es sencilla y puede resultar curiosa. Vamos por partes, haciendo las cuentas para el caso de las matrículas actuales en España, con cuatro números, por ser el origen de la pregunta.

En lugar de calcular la probabilidad de “que se repita algún número”, vamos a calcular la probabilidad de lo contrario, “que todos los números sean distintos”. Ésta probabilidad, que va a ser más fácil de obtener, está dada por la fracción \frac{\text{Casos con todos los numeros distintos}}{\text{Todos los casos}}.

El total de casos posibles es fácil de calcular. En la parte de los números de la matrícula hay cuatro “casillas” que rellenar, y cada casilla puede tomar uno de entre los diez valores \{0,1,2,\ldots,9\}. Eso hace un total de 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=10^4=10000 posibilidades.

Números del 00 al 99

Éstas son las 10\cdot 10=10^2=100 posibilidades con dos “casillas” que rellenar.

También es fácil calcular cuántos casos con todos los números distintos hay. En la primera “casilla” puedes poner cualquier número, así que tienes 10 posibilidades. En la segunda “casilla” no puedes repetir el número anterior, así que te quedan solo 9 posibilidades. Del mismo modo, en la tercera “casilla” no puedes repetir ninguno de los dos anteriores y te quedan 8 posibilidades. Análogamente, en la última “casilla” te quedan 7 posibilidades. Así que la cantidad de casos con todos los números distintos es 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040.

Por tanto:

La probabilidad de que en tu matrícula no se repita ningún número es \frac{5040}{10000}=0.504 es decir, un 50.4%. La probabilidad de que sí se repita algún número es la complementaria, un 49.6%.

Aunque ganan las matrículas que no repiten ningún número, la probabilidad está muy repartida entre las dos opciones. ¿Cuál es tu caso?

Como proponía el comentario original, puedes fijarte en tu día a día a ver si encuentras (más o menos) esta proporción. También puedes hacer las cuentas para el caso de dos dígitos y comprobar tus cuentas con la imagen anterior. Cualquier excusa es buena para aprender.

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Imágenes

La imagen es de Tom Magliery, en Flickr, y tiene licencia Creative Commons.

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