Si no recuerdas lo que es un logaritmo, aquí podrás recordarlo, saber para qué se inventaron y conocer su historia. Si ya sabes lo que es, podrás descubrir que la definición original de logaritmo neperiano no usaba la base (e). Y que después la definición se simplificó y pasó a usar la base (10). Y que en realidad la base (e) sólo estaba escondida en una de las tablas de un apéndice a una traducción del original… y que no parece que esa tabla la escribiera Neper. Después de todo, a lo mejor empiezas a llamarlo logaritmo natural.

Puede que no haga falta recordarte lo que es un logaritmo, pero quizá no te acuerdes y te apetezca recordarlo. Veamos un ejemplo: ¿Qué exponente tienes que ponerle a la base (10) para obtener como resultado (color{red}{1000})? La respuesta es (color{blue}{3}), porque (10^color{blue}{3}=color{red}{1000}).

Por eso se dice que el logaritmo en base (10) de (color{red}{1000}) es (color{blue}{3}), y se escribe
[log_{10}color{red}{1000}=color{blue}{3}.]

Cuando usas la base (10), como en este ejemplo, estás trabajando con el logaritmo decimal. Pero tu base puede ser cualquier otro número.

Por ejemplo, también es muy habitual usar como base el número (e), porque los logaritmos con esta base tienen propiedades útiles cuando se trabaja con límites, derivadas, integrales y series. Al logaritmo en base (e) se le suele llamar logaritmo natural o logaritmo neperiano… aunque quizá este último nombre no sea tan apropiado.

Lo de “neperiano” viene de John Napier (o Neper), un matemático escocés que vivió entre 1550 y 1617 y está considerado el inventor de los logaritmos (puede que el relojero suizo Joost Bürgi lo hiciera antes, pero no lo publicó).

Retrato de John Napier

Retrato de John Napier

Por aquel entonces (sin calculadoras ni ordenadores) multiplicar números grandes requería bastante esfuerzo, así que los científicos (sobre todo los astrónomos) suspiraban por una herramienta que permitiera hacer esas operaciones más rápidamente… Y eso es precisamente lo que hacen los logaritmos, que tienen el “superpoder” de convertir un producto en una suma

[log(xcdot y)=log(x)+log(y)]

y esto facilita mucho las cosas; si te dan a elegir entre hacer una suma o una multiplicación, seguro que eliges la suma.

En realidad el bueno de Napier no definió su logaritmo usando bases y exponentes, como en nuestros ejemplos (esa notación se hizo estándar años más tarde). Su definición usaba dos partículas moviéndose por líneas paralelas para relacionar una progresión aritmética con una progresión geométrica. De ahí viene el nombre de logaritmo, por logos (proporción) y arithmos (números), que acuñó al publicar sus trabajos en 1614.

Portada del trabajo original de John Napier de 1614

Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio

En notación moderna, usando bases y exponentes como en nuestros ejemplos, el logaritmo definido por Napier sería

[log_{1-frac{1}{10^7}}left(frac{x}{10^7}right)]

Por un lado, al tener (x) dividido entre (10^7) no tenía el “superpoder” de convertir productos en sumas (aunque para conseguirlo sólo le hacía falta un poco de ayuda).

Por otro lado, la base de este logaritmo original de Napier era (1-frac{1}{10^7}=0.9999999) ¡¡y no el número (eapprox 2.718281828ldots)!!

El primer problema se resolvió un año más tarde, cuando el matemático británico Henry Briggs convenció a Napier para modificar sus logaritmos y usar lo que ahora sería (log_{10}(x)). Pero este nuevo logaritmo tampoco usaba la base (e)…

La historia sigue; como la mayoría de los trabajos científicos de la época, Napier había publicado sus resultados en latín. Fue otro británico, el matemático y cartógrafo Edward Wright, quien se encargó después de traducirlo al inglés. De esta traducción se publicaron dos ediciones, una en 1616 y otra en 1618.

Portada de A Description of the Admirable Table of Logarithmes

A Description of the Admirable Table of Logarithmes (edición de 1618)

Y ya estamos llegando al final; esta última edición de la traducción incluía un apéndice con tablas de logaritmos. Algunos valores en una de esas tablas se corresponden con el logaritmo que se obtendría usando la base (2.718). Este número se parece al número (e), sí, pero ni siquiera se llegaba a mencionar explícitamente.

Por si esto fuera poco, la creencia general es que ese apéndice no fue obra de Napier. Se cree que el verdadero autor fue otro matemático británico, William Oughtred, al que debemos entre otras cosas el uso del símbolo (times) para la multiplicación.

Con todo esto, la próxima vez que veas un logaritmo en base (e) quizá se te haga más raro llamarlo neperiano.

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Nota 1: Esta entrada ha resultado ganadora de la edición 4.12310562 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews. ¡¡Gracias!!Premio Carnaval Matematicas Junio2013

Nota 2: Esta entrada ha llegado a portada en Menéame. ¡Gracias!

Nota 3: Esta entrada ha llegado a portada en Divúlgame. ¡Gracias!

Para saber más: 

Sobre el número (e) puedes consultar su página en la Wikipedia o, en la página de la Mathematical Association of America, el artículo Napier’s (e) que cuenta la historia de este número tan importante en matemáticas.

La notación usual para este logaritmo es (ln(x)), y no le afecta que le llames neperiano o natural. Pero, puestos a dudar, puedes preguntarte ¿por qué al logaritmo en base (e) se le llama natural? Parece que el primero en darle este nombre fue Nikolaus Mercator (no confundir con el famoso cartógrafo) en 1668. Más tarde este logaritmo aparecería en relación a diversas herramientas matemáticas, como la derivada, la integral, o las series de Taylor. Quizá te interese consultar ¿Por qué son naturales los logaritmos neperianos?, de Isabel Fernández y José M. Pacheco.

Volviendo al logaritmo original de Napier, éste tenía otra peculiaridad. Al contrario que los logaritmos modernos, la función del logaritmo original decrecía al aumentar el valor de (x).

En honor a la verdad, hay que decir que el número (e) tampoco estaba tan lejos de la definición de Napier como puede parecer: El (10^7) de su definición proviene de la longitud que Napier había elegido para una de sus dos líneas paralelas (la otra tenía longitud infinita), motivado por el cálculo de longitudes y latitudes en la época, que requería multiplicar lecturas astronómicas con siete dígitos. Si en lugar de ese valor hubiera usado un segmento de longitud (1), la base de su logaritmo habría sido (left(1-frac{1}{10^7}right)^{10^7}approx 0.36787942ldots) ¡¡que está muy cerca de (frac{1}{e}approx 0.36787944ldots)!! De hecho

[lim_{ntoinfty}left(1-frac{1}{n}right)^n=frac{1}{e}]

Hasta la introducción de los logaritmos, para multiplicar números rápidamente se usaba un método llamado prostaféresis, que se basaba en el uso de funciones trigonométricas.

Si quieres saber más sobre la historia de los logaritmos, puedes leer Logarithms: The Early History of a Familiar Function, también en la página de la Mathematical Association of America.

Si prefieres algo en español, puedes consultar Historia de los logaritmos, de Xavier Lefort.

Si lo que quieres es bucear en los trabajos de Napier, puedes encontrarlos en la página johnnapier.com o leer el artículo Remembering John Napier and His Logarithms, de Michael A. Lexa.

Si te interesa la historia de los logaritmos, pero también la del resto de las matemáticas, puedes consultar el libro A History of Mathematics, de Uta C. Merzbach y Carl B. Boyer.

También puedes aprender con la reseña del film Logaritmo neperiano: una probabilidad entre un millón en la sección “Cine y matemáticas” que Alfonso Población escribe en Divulgamat.

Es probable que te suene ese capítulo de los Simpsons en que el Profesor Frink menciona el “logaritmo neperiano de los pepinillos”, pero en realidad la versión original habla de la “pickle matrix” (la matriz de los pepinillos).

De hecho, en el mundo anglosajón la expresión “napierian logarithm” es poco habitual (del orden de 10.000 resultados en Google) y lo habitual es usar “natural logarithm” (del orden de 500.000 resultados). Y lo mismo sucede en español, donde “logaritmo neperiano” es bastante menos habitual (del orden de 50.000 resultados) que “logaritmo natural” (del orden de 800.000 resultados).

Vuestras aportaciones: 

En un comentario, nuestro lector Manuel Vilariño aporta el enlace al libro Tablas de los logaritmos vulgares con 6 decimales que, como él remarca es Obra declarada de texto para las escuelas de instrucción primaria superior y alumnos de filosofía de los institutos y universidades. ¡Gracias!

Gracias también a @jatgoitibera por enlazarnos en Twitter a esta página sobre reglas de cálculo (que incluye una minicalculadora logarítmica).

Imágenes: Retrato de John Napier en Wikimedia Commons. Portada de Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio en Wikimedia Commons. Portada de A Description of the Admirable Table of Logarithmes en Wikimedia Commons.

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