Hola de nuevo, hace algunos meses que no estoy muy activo por aquí, pero últimamente me han sucedido varias preguntas de cuando estaba en Bachillerato… ¿Por qué hay algunas soluciones en matemáticas que no son lo que realmente creemos que son? Quiero decir, ¿Por qué (0cdotinfty=Indet)? ¿Por qué (dfrac{infty}{infty}=Indet)?… ¿Por qué 0! = 1?

¿Por qué 0! = 1?

Pues bien, en esta entrada vamos a intentar explicar por qué ‘cero factorial es igual a uno’. Partamos de la base de que un numero factorial es aquél numero que resulta de multiplicar el numero representado por todos los números anteriores exceptuando el 0, quiero decir: Se define como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n. 

Por ejemplo: ( 7!=7times 6times 5times 4times 3times 2times 1 = 5040)

Entonces, planteamos la siguiente igualdad:

(4!=dfrac{5!}{5}=dfrac{120}{5} = 24)        =         ( 4!=4times 3times 2times 1 = 24)

Sigamos con el patrón:

(3!=dfrac{4!}{4}=dfrac{24}{4} = 6)       Aquí ya no compruebo que (4! = 24) 😛

Continuemos, ya queda menos para llegar a 0…

(2!=dfrac{3!} {3}=dfrac{6}{3} = 2)

Hmmm… Interesante. Sigamos…

(1!=dfrac{2!}{2}=dfrac{2}{2} = 1)

Por fin llegamos al 0… ¿Qué es lo que os esperáis?

(0!=dfrac{1!}{1}=dfrac{1}{1} = 1)

TACHAAAAN! LLEGAMOS DE UNA FORMA MUY SIMPLE A LA CONCLUSIÓN DE POR QUÉ (0! = 1)

¿Qué no te lo crees?

Veo que eres un poco escéptico… Eso está bien, pero no en este caso, ya que si te lo demuestro de la siguiente forma, verás como lo entiendes:

 

Supongamos que tenemos 3 coches, uno azul, otro verde y uno amarillo, y que queremos colocarlos uno detrás de otro. ¿Cuántas formas posibles hay de hacerlo?

Muy bien, 3! = 6 formas de colocarlos.

Supón ahora que sólo tenemos 2 coches y queremos hacer lo mismo de antes. ¿Cuántas formas hay?

En efecto, 2! = 2.

¿Y si vendemos un coche y nos quedamos sólo con uno? El verde, por ejemplo ¿Cuántas formas hay de ordenar un solo coche?

Claro, 1! = 1. Sólo hay una forma porque el conjunto, en este caso el coche, sólo está formado por un elemento.

Ahora, el quid de la cuestión… ¿Y si tenemos 0 coches? ¿Cómo los ordenamos?

Sólo hay una forma de ordenarlo, porque como físicamente no hay ningún coche que ordenar… el conjunto está formado por 0 elementos que se pueden combinar de una única forma, es decir, si seguimos aplicando el método que hemos seguido, obtenemos que 0! = 1.

Espero haberte ayudado a solucionar esta pregunta que solemos hacernos los estudiantes de primero y segundo de ingeniería, tanto en cálculo como en estadística.

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Nota: Esta entrada participa en la edición 4.123105 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es este humilde blog.

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