¿Por qué 0! = 1?

Hola de nuevo, hace algunos meses que no estoy muy activo por aquí, pero últimamente me han sucedido varias preguntas de cuando estaba en Bachillerato… ¿Por qué hay algunas soluciones en matemáticas que no son lo que realmente creemos que son? Quiero decir, ¿Por qué (0cdotinfty=Indet)? ¿Por qué (dfrac{infty}{infty}=Indet)?… ¿Por qué 0! = 1?

¿Por qué 0! = 1?

Pues bien, en esta entrada vamos a intentar explicar por qué ‘cero factorial es igual a uno’. Partamos de la base de que un numero factorial es aquél numero que resulta de multiplicar el numero representado por todos los números anteriores exceptuando el 0, quiero decir: Se define como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n. 

Por ejemplo: ( 7!=7times 6times 5times 4times 3times 2times 1 = 5040)

Entonces, planteamos la siguiente igualdad:

(4!=dfrac{5!}{5}=dfrac{120}{5} = 24)        =         ( 4!=4times 3times 2times 1 = 24)

Sigamos con el patrón:

(3!=dfrac{4!}{4}=dfrac{24}{4} = 6)       Aquí ya no compruebo que (4! = 24) 😛

Continuemos, ya queda menos para llegar a 0…

(2!=dfrac{3!} {3}=dfrac{6}{3} = 2)

Hmmm… Interesante. Sigamos…

(1!=dfrac{2!}{2}=dfrac{2}{2} = 1)

Por fin llegamos al 0… ¿Qué es lo que os esperáis?

(0!=dfrac{1!}{1}=dfrac{1}{1} = 1)

TACHAAAAN! LLEGAMOS DE UNA FORMA MUY SIMPLE A LA CONCLUSIÓN DE POR QUÉ (0! = 1)

¿Qué no te lo crees?

Veo que eres un poco escéptico… Eso está bien, pero no en este caso, ya que si te lo demuestro de la siguiente forma, verás como lo entiendes:

 

Supongamos que tenemos 3 coches, uno azul, otro verde y uno amarillo, y que queremos colocarlos uno detrás de otro. ¿Cuántas formas posibles hay de hacerlo?

Muy bien, 3! = 6 formas de colocarlos.

Supón ahora que sólo tenemos 2 coches y queremos hacer lo mismo de antes. ¿Cuántas formas hay?

En efecto, 2! = 2.

¿Y si vendemos un coche y nos quedamos sólo con uno? El verde, por ejemplo ¿Cuántas formas hay de ordenar un solo coche?

Claro, 1! = 1. Sólo hay una forma porque el conjunto, en este caso el coche, sólo está formado por un elemento.

Ahora, el quid de la cuestión… ¿Y si tenemos 0 coches? ¿Cómo los ordenamos?

Sólo hay una forma de ordenarlo, porque como físicamente no hay ningún coche que ordenar… el conjunto está formado por 0 elementos que se pueden combinar de una única forma, es decir, si seguimos aplicando el método que hemos seguido, obtenemos que 0! = 1.

Espero haberte ayudado a solucionar esta pregunta que solemos hacernos los estudiantes de primero y segundo de ingeniería, tanto en cálculo como en estadística.

Recuerda que puedes seguirnos en Twitter, en Facebook y en Google +.

Nota: Esta entrada participa en la edición 4.123105 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es este humilde blog.



45 respuestas a «¿Por qué 0! = 1?»

  1. Avatar de Shenecken
    Shenecken

    Hola!! Interesante demostración, sólo un apunte, al empezar con 5!/5 = 120/4… sería 120/5 = 24.
    Un saludo

    1. Avatar de David Orden

      @1 Shenecken: Corregido, ¡gracias! 🙂

    2. Avatar de Julio
      Julio

      Como se llama esto.
      Cuando una fracción esta una arriba y otra abajo.
      45.
      54.
      32.

  2. […] Sigue leyendo… […]

  3. Avatar de Davicico
    Davicico

    Muy interesante !

    Salu2!!

  4. Avatar de José Luis
    José Luis

    El factorial (operación !) realmente es un caso concreto de productorio (http://es.wikipedia.org/wiki/Productorio) donde el rango inferior es 1 y el superior es el valor del que se quiere conocer el factorial. El productorio es similar al sumatorio que todos hemos visto alguna vez.

    Tanto el productorio como el sumatorio realizan una operación con el conjunto de valores incluidos en el rango especificado entre el inicio y el fin, evidentemente el productorio multiplica y el sumatorio realiza la suma.

    ¿Qué sucede cuando el rango sobre el que se realiza la operación es vacío? Pues que el resultado es el elemento neutro de la operación. El cero en el caso de la suma y el uno en el caso del producto.

    Es decir: 0! = multiplicador de 1 a 0 = (rango vacío entonces resultado igual a elemento neutro de la operación) = 1

    ¿A que sumatorio de 1 a 0 = 0 no le estraña a nadie? Pues lo mismo pasa con el productorio pero con el elemento neutro correspondiente a la operación que representa.

    Saludos

    1. Avatar de Antonio Sanchez
      Antonio Sanchez

      Pero es que el algoritmo factorial de un número es el producto desde 1 hasta ese número, no entra para nada el cero. Ahora nos sacamos, no sé para qué, el factorial de cero. Lógicamente llegamos a algo que la razón repele y para querer justificarlo dicen, por ejemplo, que la ordenación de 0 elementos solo se puede hacer de una manera. Pues no, ordenar 0 elementos no tiene sentido, como no tiene sentido dividir por 0
      Las matematicas empiezan con el pensamiento y si se quiere, con la filosofia, pero no se puede justificar todo. ¿cómo justificamos los números imaginarios o los números complejos?. Son simplemente algoritmos para el cáculo pero no tienen realidad ninguna, de ahí el nombre.

      1. Avatar de Nurya
        Nurya

        Gracias x decirlo joder….eso mismo pienso yo…..es lo más incoherente q se han podido inventar…..de toda la vida x*0=0 y aquí el productorio de 0!=1 venga ya, estaban borrachos???

        1. Avatar de Manu
          Manu

          Hola, cualquier número (que no sea 0) elevado a la 0 da 1.
          Saludos

  5. Avatar de jose
    jose

    En realidad la definición más aceptada de factorial no es el producto de dicho entero con todos sus números enteros menores. Sino que es una definición recurrente para los naturales (con el cero incluido), donde el caso base es 0!=1 (si, por la cara :)) y la función recurrente es N!=N·(N-1)! . Tu forma de demostrarlo es haber tomado el caso base 4!=24 , despejar la formula recurrente e ir hacia atrás.

  6. Avatar de Angel_
    Angel_

    Toda la vida pensando que 0! era 1 por la cara, como dice jose. Pues tampoco era tan difícil de explicar.
    Ahora resultará que e^x no se puede integrar porque existe una razón lógica para ello.

    Le estáis quitando a la ciencia lo bueno que tenía, que nunca hay una explicación correcta youtu.be/VK-b1CtIATw

  7. Información Bitacoras.com

    Valora en Bitacoras.com: Hola de nuevo, hace algunos meses que no estoy muy activo por aquí, pero últimamente me han sucedido varias preguntas de cuando estaba en Bachillerato… ¿Por qué hay algunas soluciones en matemáticas que no son lo que r…

  8. Avatar de Leonardo javier Ortega
    Leonardo javier Ortega

    Mi comentario es acerca de la veracidad de la igualdad 0! = 1
    Se acepto que 0! = 1 sólo por definición. Ya que el conjunto vació esta incluido en cualquier conjunto de elementos. Por ejemplo, ¿ de cuántas formas poedo acomodar 0 autos en el garage ?, por supuesto de 0! = 1 formas diferentes.
    Saludos sinceros para todos. Hasta pronto

    1. Avatar de Nurya
      Nurya

      Es ninguna forma xq no tiene nada q acomodar.
      Es increíble cómo han hecho ley l operación más absurda q hay, sobretodo después de machacar nos en la cabeza q 0 no es un número….solo si se coloca a la derecha de un número o hay una coma ..y ahora resulta q para lo q les interesa si es número….0! Simplemente no existe, pero quién se lo ha sacado de la manga está llorando de risa en su tumba viendo cómo los demás listillos x no quedar de atontados le dan la razón…..para mí siempre ha sido muy incoherente esto

  9. Avatar de jose
    jose

    es lo mismo de ¿por qué algo elevado a cero es uno? Como va a valer uno algo que multiplicas cero veces por si mismo ?, pues no tiene explicación en si mismo, es la deficion recrrente para todo numero entero y se toma como caso base a^0=1 con a en los enteros, y luego la formula recurrente.,,,,

    igual si alguien le sorprende que algo elevado a cero valga uno y que algo elevado a negativo sea el inverso de del positivo, se puede mirar como está a continuación, pero no justifica nada, solo aplicar la definición

    2^3=8

    2^2=8/2=4

    2^1=4/2=2

    2^0=2/2=1

    2^-1=1/2=1/2

    2^-2=(1/2)/2

  10. Avatar de José Ángel
    José Ángel

    ¿La última igualdad no supone, o es equivalente a: 1! = 1 x 0! ?
    ¿Es decir, que supone 0! = 1 por definición?

    PD:
    ¿O sea que, gracias a que 0!=1, ya sabemos cómo ordenar conjuntos de 0 coches?
    No sé si le hemos quitao un peso de encima a mucha gente, ¿nó?…
    Gracias por la entrada, Jorge. Aunque no esté de acuerdo, me ha encantado leerla.

  11. Avatar de El zombi de Schrödinger

    Deformación profesional, para mi != es distinto, porque es el símbolo que se usa en varios lenguajes de programación, así que 0!=1 es «cero distinto de uno» juas.

    Ahora todo cobra sentido. Una interesante demostración del típico concepto que te aprendes por que sí.

  12. Avatar de Jorge Moratilla

    En primer lugar, gracias a todos por los comentarios. He aprendido más leyendo los comentarios que en la propia elaboración de la entrada, ya que he tenido que buscar e investigar por diferentes sitios para dar con alguna cosa.

    En segundo lugar, quería responder a José Ángel, ya que lo que él dice tiene toda la lógica, no podemos ordenar 0 coches porque precisamente no tenemos nada que ordenar, pero en este caso, era una forma más «visual» de comprenderlo. La identidad que he usado {(n-1)! = n!/n} es válida para todos los números mayores o iguales a 1, pero ¿Por qué no seguir la sucesión hasta 0?
    Aunque pueda resultar una demostración convincente (así traté de que fuese), realmente no es así, ya que la razón real por la cual se toma la convención de 0! = 1 es por ser un caso especial de la convención de producto vacío, y como tal, es el resultado de multiplicar entre sí ningún número, así que por convención se toma el 0! = 1, como muy bien dices, pero repito, que esta entrada no era ningún argumento sólido y que haya que seguir al pie de la letra, sólo es una entrada divulgativa para mis compañeros de carrera y para todo aquel que no sepa muy bien como va esto de las matemáticas (yo tampoco se muy bien como funciona esto… 😛 )

    Espero haber solucionado tu cuestión.

    Muchas gracias a todos!

  13. Avatar de José Ángel.
    José Ángel.

    Muchas gracias por la respuesta, Jorge.
    No deja de sorprenderme lo interesante que puede ser poner en común distintas opiniones, conocimientos o puntos de vista, sobre un mismo tema, por simple que sea.

  14. Avatar de Diseños
    Diseños

    esta genia, no lo sabia la verdad, Saludos. Me encanta tu web!!!!

  15. Avatar de Alberto Castro Santiago

    Sobre este tema, siempre he tenido la idea de que la mejor forma de comprenderlo, estaría en considerar la definición de otra forma. Lo mismo digo en cuanto a la definición de la potencia 0.
    Si en la definición de potencia, se dijera que es el resultado de multiplicar (o dividir si es negativo) la unidad, por tantas veces la base como indica el exponente ya queda definido el x^0=1. Lo mismo para la factorial, es el resultado de multiplicar la unidad por tantos términos de la serie de números naturales como se indica.

  16. Avatar de karol
    karol

    hola.. entendi cuando lei tu post sobre porque el factorial de 0 es 1.. pero me confunfi cuando empece a leer los comentarios.. termine confundida ya no se que creer…entonces cual es la respuesta a la cuestion?

  17. Avatar de Jose
    Jose

    karol no hay demostracion, es por definicion, el factorial se define como una funcion recurrente:
    caso base: 0!=1
    formula recurrente: (n)! = n·(n-1)!

    lo que muestra este post es aplicar la formula recurrente hacia atras, para entender que si tiene sentido que el caso base sea 0!=1

    la confusion viene de que nos lo han enseñan mal en la escuela, y en muchas universidaades como el producto de un numero por todos los que tiene por abajo ejemplo 5!=5·4·3·2·1, y esa es una definicion muy mala, con la verdadera definicion de 5! seria
    5!=5·4!
    =5·4·3!
    =5·4·3·2!
    =5·4·3·2·1!
    =5·4·3·2·1·0!, ojo caso base a la vista!!
    = 5·4·3·2·1·1 = 120 (¿date cuenta que se ha multiplado dos veces por uno!)

  18. Avatar de Tu gfa
    Tu gfa

    tu teoria es falsa

  19. Avatar de Exodus

    Tu gfa, me encantas. Dices tu teoria es falsa y a la mierda los argumentos. Él ya ha dicho que se toma por definición y que él tan solo lo explica así para ayudarte a comprenderlo

  20. Avatar de fulano
    fulano

    Perdonen algunos de ustedes. El «0» no es ningún número, es un símbolo como el que representa a infinito y como tal símbolo no esta incluido en los naturales ni en los reales ni en los racionales
    De ahí, el por qué de algunas indeterminaciones.
    0! sí es un número porque es un «número combinatorio» que se corresponde con el 1 de los naturales de igual modo que el 4! se corresponde biunívocamente con el 24
    En cualquier caso no deja de ser una convención que expresa la existencia del producto vacío.
    Gracias

  21. Avatar de cablop
    cablop

    La demostración no me parece correcta ni verdadera… sin embargo, me parece una buena estrategia de memorización.

  22. Avatar de Uvi
    Uvi

    No le entendi !! jaaa

  23. Avatar de Juan
    Juan

    OK, el factorial de 0 es 1. Sin embargo, la «demostración» que comentas no demuestra nada, puesto que estás dando por sentado que el patrón ha de reproducirse siempre… y eso no es muy científico. Y que pasa con el factorial de -1? también sigue el patrón?

    Un saludo

  24. Avatar de Felino
    Felino

    El factorial de -1 no existe porque Γ(n+1) = n!, entonces la solución de la integral impropia para Γ(0) = [e^(-x)/x] = -inf, aparte se demuestra que Γ(1)= 0! = [-e^(-x)] = 1

  25. Avatar de Felino
    Felino

    Tampoco existe el factorial de ningún número entero negativo como se observa en la siguiente gráfica https://en.wikipedia.org/wiki/Factorial#/media/File:Generalized_factorial_function.svg

  26. Avatar de gonzalo
    gonzalo

    interesantes demostraciones pero ninguna matematica, sin mencionar que en la secuencia siempre omiten el 0
    por ejemplo 3!=3x2x1 pero no 3x2x1x0 por razones obvias…
    por lo tanto es mas simple decir que 0! de no tiene solucion al menos no en el conjunto de los reales

  27. Avatar de ingenieroloco347
    ingenieroloco347

    porque no sabes binario perro

  28. Avatar de Fidel
    Fidel

    Lo siento, Jorge, no me convence para nada tu «demostración» con el ejemplo de la ordenación de coches. ¿De cuántas formas se puede ordenar la nada? De ninguna… No, esa no es la demostración de que el factorial de cero es uno.

    El factorial de cero es uno por simples matemáticas, no por convenio ni por ordenar coches…
    Pensémoslo así: el factorial de 5, o sea 5!, ¿cuánto es? Pues 5x4x3x2x1, es decir, cinco por factorial de cuatro: 5! = 5 x !4
    Lo mismo para el factorial de cuatro: !4 = 4 x !3, y así sucesivamente.
    Resulta que decir !4 = 4 x !3 es lo miso que decir: !4 / 4 = !3, ¿cierto?
    De igual forma, !2 = !3 / 3, y !1 = !2 / 2. Es decir, se cumple: n! = (n+1)! / (n+1)
    Por tanto no es de extrañar que 0! = !1 / 1 = 1.
    ¡Saludos!

  29. Avatar de gener enrique
    gener enrique

    Está muy forzado, con.o diría mi maestro de Geometría.

  30. Avatar de Pablo
    Pablo

    No se entiende, porque, esta echoben mac y aqui se desconfigura

  31. Avatar de javier2112
    javier2112

    La explicación de Fidel es la que me enseñaron en la Escuela de Ingeniería Informática, pero creo que se puede explicar un poco más claro. Veamos la siguiente secuencia, en la que aún no se conoce el valor de 0!
    5!/4! = 5·4·3·2·1·0! / 4·3·2·1·0! = 5
    4!/3! = 4
    3!/2! = 3
    2!/1! = 2

    Entonces para el caso base se debe dar que:
    1!/0! = 1

    De ahí se deduce que 1! = 0!, por tanto 0! = 1

  32. Avatar de Ingrid
    Ingrid

    José, claro que hay una explicación del porqué todo número elevado a la cero es uno. Y es la siguiente: a^0=1 ; si tomamos que 0= n-n al sustituir quedaría a^(n-n)=1 luego aplicando propiedad de exponente negativo se tiene: (a^n)/(a^n)=1 puesto que todo número dividido entre si mismo es 1, quedaría 1=1 y se cumple la igualdad.

  33. Avatar de Pepinator
    Pepinator

    Ingrid, me ha convencido por completo su demostración… aunque se salga del tema que inicialmente consultaba. Gracias.

  34. Avatar de Salva
    Salva

    Jorge, gracias por tu esfuerzo pero no deberías poner demostraciones que tú mismo reconoces que no lo son. Parece que lo haces, y así lo justificas-«sólo es una entrada divulgativa»-, pero creo que lo empeoras porque si quien lo lee todavía no se ha formado con una base lógica suficiente para entender lo que expones, creas un ignorante más («convencido de que no lo es».).
    (Matemáticas 1!= 0!= 1 ??? Sólo es posible por «DEFINICIÓN», Y SE ACABÓ).

    Saludos :-).

  35. Avatar de Nemesio JCB
    Nemesio JCB

    Me encantaron las dos demostraciones; la analítica y la intuitiva. Enhorabuena.

  36. Avatar de Nemesio JCB
    Nemesio JCB

    Leídos los comentarios, quiero añadir algo más. En ocasiones, se han hecho críticas con poco fundamento; o con fundamento difuso.
    1) Ciertamente, el rigor matemático y/o científico puede ser muy variado según a quien queramos demostrar algo, o la orientación profesional del que quiere utilizar esa «verdad» a demostrar, o incluso dependiendo de nuestra exigencia personal y la del contertulio; o probablemente otras cosas más…
    2) P.o.p. todo sistema matemático que sea coherente en sí, necesita axiomas, como sabemos, verdades que le permiten conservar su coherencia, y sin las cuales algunos casos particulares nos causarían problemas, no ya sólo desde la propia teoría, sino sobre todo a la hora de obtener aplicaciones prácticas en los distintos campos, la programación, la ingeniería, la realización de algoritmos de todo tipo; y más que no se me ocurren ni se.
    3) En cualquier caso, podemos aceptar una verdad como n!=1 [o si se quiere a^0=1] como definición «axiomática», o podemos aceptarla como consecuencia forzada para que una verdad general del tipo n1 = (n+1)!/(n+1) [o en correspondencia al «si se quiere anterior» a^(x) / a^(x) = a^(x-x) = 1] sea verdad en todo el rango de los naturales más el cero (sea este considerado o no como número).
    4) A este propósito es muy interesante con la primera de las «expresiones» (la de n!) aplicarla a números negativos. Recomiendo se pruebe y se conseguirán algunas conclusiones muy interesantes.
    * El disentimiento crea la duda, la duda la búsqueda, la búsqueda (aunque no siempre) la solución; y cada vez más los problemas reales tienen múltiples soluciones ¿»válidas»?

  37. Avatar de Nemesio JCB
    Nemesio JCB

    En el anterior, en una fórmula n1 = …etc… debería decir n! = …etc…
    Disculpen el error.

  38. Avatar de Jorge Arturo Carmine Borgeaud
    Jorge Arturo Carmine Borgeaud

    Muy interesantes explicaciones, tanto para 0! como para nº(exponente 0). El tema se me ha actualizado a razón de algunas recientes conversaciones triviales sobre algunos conceptos matemáticos, poco comunes, y ante los que me confirman haber estado en la razón.
    He leído todos los comentarios, valorando el aporte de cada uno ante un tema matemático apasionante.
    Saludos desde Chile.

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Soy profesor del área de Matemática Aplicada en la Universidad de Alcalá. Me interesa aprender y ayudar a aprender. Me gusta conectar las matemáticas con otros campos. Cuento cosas en Twitter como @ordend. Tengo una página profesional con más información.

Sobre el blog

Este blog trata sobre matemáticas, miradas desde distintos puntos de vista. Pretende ser cooperativo, porque seguro que hay algo de lo que sabes más que otros y, aunque no lo hayas pensado nunca, tiene matemáticas detrás. Queremos pasarlo bien jugando a pensar y ayudarnos entre todos a aprender cosas. Puedes seguir a @cifrasyteclas en Twitter o visitarnos en Facebook.

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