Seguro que en estos días has comido alguna vez roscón de reyes, incluso es posible que te hayas animado a hacerlo en casa. La tradición es que el roscón incluya una o varias figuras (el número suele depender del tamaño) y un haba, con consecuencias diversas para quien los encuentre.
Anoche me tocó empezar un roscón. Aunque siempre hay quien busca pistas para decidir por dónde cortar, en mi caso corté por un lugar al azar… y me encontré con una de las sorpresas. Esto me llamó la atención y mi curiosidad matemática saltó como un resorte. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una sorpresa (incluyendo el haba) al hacer el primer corte del roscón?
Por supuesto, esa probabilidad dependerá de varios factores; la forma y el tamaño del roscón, el número de sorpresas, la disposición de éstas… Vamos a centrarnos en el caso de mi roscón que, al fin y al cabo, es con el que hice el experimento 🙂
La forma de mi roscón se aproximaba bastante a una corona circular. No tengo una foto, porque cuando se me ocurrió hacerlas era demasiado tarde, pero era algo parecido a esto:
Las sorpresas estaban colocadas aproximadamente en el medio de la masa, a lo largo de una circunferencia intermedia entre la circunferencia del agujero y la circunferencia exterior del roscón. Sí tengo una foto de la bandeja, ya vacía, para estimar el radio de esa circunferencia:
Pongamos que las sorpresas estaban a lo largo de una circunferencia de 10 centímetros de radio. Vamos a calcular la longitud de esa circunferencia; ya sabes (y si no aprovechas para recordarlo :-)) que esta longitud es (2cdot picdot 10) al ser de radio 10.
Ahora vamos a medir el tamaño de las sorpresas. Empezamos por las figuras:
Mi roscón tenía dos figuras, ambas de tamaño similar. Cada una venía envuelta en un plástico, como si fuera un caramelo, así que podemos estimar unos 6 centímetros de largo para cada figura. Además, en mi roscón no podía faltar un haba:
Ésta también venía envuelta como un caramelo, así que pongamos que su envoltorio medía unos 3 centímetros.
En total tenemos (6+6+3) centímetros para las sorpresas y (2cdot picdot 10) centímetros para el radio de la circunferencia en la que estaban colocadas. Por supuesto, todo esto es una aproximación; ni el roscón era circular, ni las medidas son exactas, ni las sorpresas se ajustaban perfectamente a la forma de una circunferencia… Pero nos sirve para hacernos una idea.
Si aceptas estas aproximaciones, vamos a estimar la probabilidad de encontrarnos una sorpresa en el primer corte. Ésta vendrá dada por el cociente entre la longitud total de las sorpresas (casos favorables) y la longitud total de la circunferencia (casos posibles).
Así que la probabilidad de encontrar una sorpresa en el primer corte de mi roscón era, aproximadamente:
[frac{6+6+3}{2cdot picdot 10}approx 0.24]
es decir, ¡¡tenía más o menos un 25% de probabilidades de encontrar una sorpresa al primer corte!! Bastante más de lo que podría pensarse en un principio 🙂 Como ves, las matemáticas están en todas partes; sólo hay que buscarlas.
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Imagen: Javier Lastras en Wikimedia Commons.
Todo esto es asumiendo que las sorpresas estuvieran dispuestas longitudinalmente a lo largo del roscón. La probabilidad disminuiría muchísimo de no ser así.
Ya digo que depende de muchas cosas, pero éste era el caso real de mi roscón.
Y a mí que nunca me toca…
Tienes casi un 100% de posibilidades de encontrar todas en un único corte… es fácil saber cómo.
Jamás pensaría que la probabilidad fuera tan alta… un 25% es mucho.
¿Y la probabilidad de que fuera el haba?, ¿simplemente dividirlo entre 3?… ¿y la probabilidad de hacer tres cortes y “triunfar” en los tres?… no quiero pensar!!!!!, que exploto!!!!
La probabilidad de que fuera el haba sería: 3/(2*pi*10)=0,0477 (4,77%)
Probabilidad de tres cortes al azar y tres aciertos es la multiplicación de cada una de las probabilidades por separado, aunque para eso hay que asumir independencia estocástica y es mucho suponer en este caso: [3/(2*pi*10)]*[6/(2*pi*10)]*[6/(2*pi*10)]=0,000435 (0,0435%)
De todas formas 3 premios son mucho para un roscón tan pequeñajo!
Prometo que tenía 3 sorpresas… hay que saber dónde comprarlos 😉
Pues yo prefiero mas nata y menos sorpresa 8D
¡Ja, ja, ja!!! Me ha encantado la entrada, guapetón, muchas gracias!
Después de estar toda la mañana en la cocina a mi nunca me dejan acercarme al roscón en la merienda “porque sé donde está el premio”, pero bueno las discusiones sobre donde estará o a quien le tocará son divertidísimas! Tendré que explicar en casa tus cálculos.
Un beso!
Gracias guapa 🙂 Seguro que lo explicas bien.
Esto es un caso real.
Roscón circular de un kilo. Hice seis cortes en el mismo para dividirlo en seis porciones y en ninguno encontré el regalo.
Después al comerlo apareció una figurita de cuatro centímetros de largo por dos de ancho y un haba.
Tu has hablado de las posibilidades de encontrar el regalo en el primer corte. ¿Que probabilidades hay de hacer seis cortes y no encontrar sorpresa en ninguno.?
@5, muchas gracias…
Hoy mismo, entre cocacolas y bravas he comentado esto en la barra del bar con boligrafo y servilleta de papel… ¡¡¡ quién me ha visto y quién me ve !!!
@11 Freud: Sólo por animarte a comentar esto, y más en la barra de un bar, ya merece la pena el blog. Gracias.
@12, pues de veras le comentaré que pensé que no habría tema en este blog matématico que me “transformara” para hacer desaparecer mis monólogos de barra de bar sobre Nietzsche, pero ya ve que me equivoqué… Cuando me preguntaron: ¿y esto, de dónde lo has “sacaó”? al responderles: de una web de coches !!! tendrían que haber visto la cara de los allí presentes.
Me ha gustado mucho el problema. He intentado resolverlo calculando la probabilidad máxima y la mínima.
La probabilidad máxima se obtiene cuando la sorpresa es tangente a la circunferencia interior, 5 cm, y la mínima cuando tocan los laterales a la circunferencia mayor, 15 cm.
Lo he calculado como la probabilidad de un objeto que se ve bajo un ángulo ( theta) desde el centro de una circunferencia es (Pleft (frac{theta}{2pi}right ) ), el resto es trigonometría de bachillerato (Pitágoras senos, etc,…), me ha dado (esperemos que bien):
(P_{max}=frac{1}{pi}left ( 2cdot arcsenleft ( frac{3}{sqrt{frac{9}{4}+25}} right )+arcsenleft ( frac{1.5}{sqrt{frac{2.25}{4}+25}} right ) right )=0.4856)
(P_{min}=frac{1}{pi}left ( 2cdot arcsenleft ( frac{1}{5} right )+arcsenleft ( frac{1}{10} right ) right )=0.1601)
¡¡¡Error!!!
(P_{max}=frac{1}{pi}left ( 2cdot arcsenleft ( frac{3}{sqrt{frac{36}{4}+25}} right ) +arcsenleft ( frac{1.5}{sqrt{frac{9}{4}+25}} right )right )=0.4368)
@10 Andran: Depende de cómo estén colocadas las sorpresas (he actualizado el dibujo para explicarlo mejor). Si están a lo largo de la circunferencia intermedia hace falta saber el radio de esta circunferencia, más que el peso.
La probabilidad de que no pase algo es 1 menos la probabilidad de que sí pase. En mi ejemplo, la probabilidad de no encontrar sorpresa al primer corte sería (approx 1-0.24=0.76).
Como dice @5, si suponemos que un corte es independiente de los anteriores, la probabilidad de que sucedan dos cosas es el producto de las probabilidades de cada una de ellas. En mi ejemplo, la probabilidad de que en un segundo corte tampoco encontráramos sorpresa sería (approx 0.76cdot 0.76=0.76^2approx 0.58).
Si hacemos un tercer corte, tendríamos (approx 0.76cdot 0.76cdot 0.76=0.76^3approx 0.44)… y así hasta 6 cortes, que tendríamos (approx 0.76^6approx 0.19), es decir, un 19% de probabilidad.
En tu caso, bastaría con hacer estos mismos cálculos pero cambiando los 10 centímetros de radio de mi circunferencia por la medida en tu caso. Espero que se entienda 🙂
Cornelius: Necesito sentarme un rato con calma para comprobarlo… y estos días es difícil 🙂 Pero me fío bastante.
Siempre podemos comprobarlo a la vieja usanza: compra 300 roscones, cortalos y dime de todos los cortes cuantos as encontrado una sorpresa. Hmmm…roscon para cenar todos los dias del año!! 😉
Al lanzar una moneda 4 veces, se presentan las sigs. probabilidades en lo referente al número de caras que se obtendrán:P(0)=.0625, P(1)=0.2500, P(2)=0.3750, P(3)=0.2500 y P(4)=.0625. Que posibilidad hay de A) Una o dos caras, B) Menos de 3 caras, C) Cinco caras, D) Más de 3 caras y E) Menos de 2 o más de 3 caras…….. Espero y puedas ayudarme, por que francamente no le entiendo…
¿Y la anchura de la porción que cortamos no influye?
¿Cómo definimos encontrar la sorpresa? ¿Qué toda la sorpresa quede dentro del trozo que cortamos?… En este caso, ¿”cortar” el 90 por ciento de la sorpresa sería no encontrarla?..
En mi casa consideramos que, si tropezamos con la sorpresa en cualquiera de los dos cortes necesarios para sacar una porción, ya la hemos encontrado. En este caso creo que habría que sumar 2 veces la anchura del corte a los casos favorables.
¡Saludos!
La probabilidad de una o dos caras es la suma de P(1) + P(2)
La probabilidad de menos de 3 es la probabilidad de que te salgan 0, 1 o 2…siguiendo el razonamiento anterior = P(0) + P(1) + P(2)
La probabilidad de 5 caras es 0. Es imposible que al lanzar 4 monedas te salgan 5 caras (se le llama suceso imposible)
La probabilidad de más de 3 caras es la probabilidad de sacar 4 caras, es decir, P(4)
La probabilidad de menos de dos o más de 3 son todas menos 2 caras o 3 caras. 1 es la probabilidad del suceso seguro (algo que va a ocurrir seguro; la suma de probabilidades de los distintos sucesos tiene que dar 1). Entonces es = 1 – P(2) – P(3). O si lo prefieres P(0) + P(1) + P(4) que son las probabilidades menores que dos o mayores que 3.