En matemáticas no está todo inventado: El problema de las distancias enteras en el plano

En matemáticas no está todo inventado: El problema de las distancias enteras en el plano

Que levanten la mano los que crean que “en matemáticas está todo inventado”. Venga, sin miedo que aquí estamos para aprender.

Pues no, las matemáticas son una ciencia muy viva con una gran actividad investigadora (y, por el momento, España está entre los primeros puestos en investigación matemática). Sin embargo, aún quedan muchos problemas para los que no se conoce solución, o para los que se busca una solución mejor.

Hoy contaremos un ejemplo de problema muy fácil de entender, pero aún sin resolver, el problema de las distancias enteras en el plano. Empecemos por la siguiente pregunta:

¿Cuántos puntos se pueden colocar en el plano de manera que la distancia entre cualquier par de puntos sea un número entero?

Así sin más, la respuesta es muy fácil. Piénsalo un poco… ¿La tienes? Bastaría con poner puntos alineados, por ejemplo a lo largo de una recta horizontal, cada uno a distancia 1 del siguiente. Así podríamos colocar infinitos puntos con distancias enteras entre todos ellos.

Infinitos puntos con distancias enteras entre ellos

Y entonces podemos preguntarnos

¿Hay alguna otra manera, que no sea sobre una recta, de colocar infinitos puntos en el plano con distancias enteras entre todos ellos?

En 1945 Erdős (un matemático muy particular) y Anning demostraron que no, que sólo puede haber infinitos puntos con distancias enteras si éstos están alineados. Además, también demostraron que para cualquier número (finito) (n), se pueden colocar (n) puntos en el plano con distancias enteras entre ellos.

Eso sí, para ello tenían que colocar todos los puntos sobre una circunferencia. Así que después de publicar este resultado en 1945, Erdős modificó la pregunta inicial. Lo verdaderamente interesante era:

¿Cuántos puntos se pueden colocar en el plano, sin que haya tres en una misma recta ni cuatro en una misma circunferencia, de manera que la distancia entre cualquier par de puntos sea un número entero?

Vamos a intentar responder a esta pregunta. Con 2 puntos todo el mundo sabe hacerlo 🙂

Dos puntos con distancia entera entre ellos

Ahora inténtalo con 3 puntos. ¿Ya lo tienes? Sirve cualquier triángulo rectángulo cuyas longitudes de los lados formen una terna pitagórica. Por ejemplo:

Tres puntos con distancias enteras entre ellos

Con 4 puntos es un poco más difícil, pero no mucho. Después de un rato pensando, se nos puede ocurrir usar cuatro triángulos como el anterior para obtener:

Cuatro puntos con distancias enteras entre ellos

Con 5 puntos la cosa ya se complica más y no pretendemos que lo resuelvas, pero si quieres puedes comprobar que los puntos de la siguiente figura cumplen la propiedad:

Cinco puntos con distancias enteras entre ellos

Para 6 puntos también se puede hacer, si quieres comprobarlo puedes mirar este enlace.

Para 7 puntos, Kreisel y Kurz encontraron la manera de hacerlo, que puedes ver también en este otro enlace. Lo llamativo es que para ello necesitaron varias buenas ideas y unas cuantas horas de cálculo por ordenador… y su resultado es de 2007. Es decir, más de 60 años después de la pregunta original de Erdős.

¿Y para 8 puntos? Pues, aunque no te lo creas:

Nadie sabe si es posible colocar 8 puntos en el plano, sin que haya tres en una misma recta ni cuatro en una misma circunferencia, con distancias enteras entre todos ellos.

Así que aquí tienes un problema de matemáticas que es bien fácil de entender y que sigue sin resolverse, en el que siguen trabajando investigadores de todo el mundo. ¡¡Y eso que son sólo 8 inofensivos puntos!! 😉

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Nota 1: Esta entrada participa en la edición 3.14159265 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es pimedios La aventura de las matemáticas.

Nota 2: Esta entrada ha llegado a portada en Menéame.



13 respuestas a «En matemáticas no está todo inventado: El problema de las distancias enteras en el plano»

  1. Avatar de LGA
    LGA

    Una aclaración, por favor.
    Si la condición respecto a puntos colocados en una misma circunferencia es que no haya cuatro, ¿por qué la colocación de tres puntos en el plano no acepta también la correspondiente a los vértices de un triángulo equilátero? ¿No será que la condición del problema es «que no haya tres puntos alineados ni en circunferencia»?
    Gracias.

    1. Avatar de David Orden

      Es una buena pregunta. La razón es que por tres puntos siempre pasa una circunferencia (sean cuales sean los tres puntos). Por eso no se puede poner como condición «que no haya tres puntos en la misma circunferencia», porque esa condición no se podría cumplir nunca.

      Un par de enlaces al respecto:
      http://www.geogebratube.org/student/m5103
      http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/circunferencia_ppc/dos_circunferencia.htm

  2. Avatar de Javier Moltó

    Mi cuestión es que no tengo ni idea de cómo afrontar el problema.

    Lo que me pide el cuerpo es demostrar la imposibilidad de tal posibilidad. Demostrar la imposible existencia de esa figura. Si está bien definida, tendría que haber una forma que permitiera demostrar su posible existencia o su posible inexistencia.

    ¡Qué maravilla! Me estás haciendo pensar 🙂 (Es mentira, ojalá, pero lo intento)

    ¿Puede haber alguna forma para demostrar su existencia que no sea por la palpación empírica de su realidad?

    Me fascina el problema. Imaginamos que algo puede existir. ¿A quién corresponde la carga de la prueba? ¿Al que dice que eso existe o al que dice que eso no existe?

    Exactamente eso es lo que sucede con Dios. (En este caso no es así porque estamos entre matemáticos y nadie dice ni que existe ni que no existe. Duda)

    Me he escabullido, lo sé. Me gustaría ser capaz de pensarlo en términos matemáticos. Me gustaría ser capaz de saber cómo afrontar el problema. Saber cómo pensar para tener las buenas ideas de Kreisel y Kurz.

  3. Avatar de Fernando M

    La solución con 6 puntos arrojó cifras de decenas de miles. La de 7 puntos centenas de miles.

    Si consideramos que la solución para 8 puntos dará cifras de millones, 10 elevado a 12 posibles puntos en el plano. Como son 8 puntos, si comprobamos las 10 elevado a 96 combinaciones tenemos la solución. Habría que afinar el algoritmo.

  4. Avatar de David Orden

    Gracias por los comentarios.

    Javier Moltó; en esos párrafos hay material para varias entradas. Ya tenía en mente una sobre demostraciones, en la que intentaré responder a algunas de esas preguntas.

    Fernando M; no está tan claro que la solución para 8 puntos tenga que dar cifras de millones. Se conocen todas las posibles maneras de colocar 8 puntos en el plano… si no tenemos en cuenta las distancias (por ejemplo; 3 puntos sólo pueden formar un triángulo… pero eso no tiene en cuenta las distancias). Sobre algo relacionado con esto también tengo pensado escribir, cuando tenga tiempo 🙂

  5. Avatar de Fernando M

    David, querrás decir «no está tan claro que la solución para 8 puntos tenga que dar cifras de millones».

    Lo que quería hacer ver es que, para comprobar cada una de las posibles colocaciones de 8 puntos en una cuadrícula de un millón por un millón se necesitarían alrededor de 10 elevado a 96 operaciones. El ordenador más potente del mundo tiene una capacidad de 10 elevado a 15 operaciones por segundo. Necesitariamos 10 elevedo a 81 segundos y aún así puede que no hubiese solución dentro de ese plano delimitado.

    1. Avatar de David Orden

      Tienes toda la razón, Fernando; edito y cambio el 7 por un 8.

      Ahora entiendo mejor tu comentario, gracias. Es una muy buena explicación de por qué no basta una aproximación por «fuerza bruta» basada en la potencia de cálculo… y eso sin estar seguros de que las distancias sean números con un millón de cifras. Si tengo tiempo lo incluyo en la entrada (y te doy el mérito), porque me parece muy interesante.

  6. Avatar de Duda
    Duda

    Buenos días:
    La solución de 4 puntos es correcta?
    Es que me da, que el punto en las coordenadas (4,3) hace que se incumpla la premisa «sin que haya tres en una misma recta», por ejemplo, los puntos de coordenadas (4,6), (4,3) y (4,0) están en la misma recta con una distancia entera de 3 entre ellos (y en la otra «diagonal» igual)
    A lo mejor lo he entendido mal, pero puede ser que la solucion para 4 puntos sea un rectangulo formado por dos triangulos, cuyas longitudes de los lados formen una terna pitagórica y unidos por la hipotenusa.
    Por ejemplo un rectangulo con vertices en las coordenadas:
    (0,0), (0,3), (4,3) y (4,0) tendria 4 puntos con distancias de enteras entre ellos de 3, 4 y 5 (y todos los puntos intermedios en cada recta no cumplirian que se distancian un numero entero de todos los demas.
    estoy equivocado?

    Saludos

    1. Avatar de David Orden

      Buenos días. Gracias por la pregunta, dudar es bueno (siempre que no sea demasiado) 🙂 Lo que pasa es que en las coordenadas (4,3) «no hay punto», es decir, el punto que hay no es uno de los cuatro. Si pusiéramos un punto ahí tendríamos cinco, pero no cumplirían la condición.

  7. Avatar de alfred
    alfred

    estupendo, más cosas que estudiar

  8. Avatar de Juan Manuel Dato

    Yo me sé de uno que podría hacer un programa que devolvería: Finitas soluciones, Sin soluciones, Indefinido y Con soluciones. Sabiendo que el Indefinido podría quedarse más arrinconado cuanto más se invierta en el procesamiento de la máquina. Pero algo me dice que este tipo de cosas sólo se exponen para dar crédito de nuestra incapacidad para dar respuestas, para llenar a los tontos de ilusiones o para, simplemente, tener la oportunidad de reirse de los que erren al creer dar con una solución. La comunidad científica hace tiempo que murió para dar paso a una élite que huele a rancio.

  9. Avatar de Freud
    Freud

    ¡ Esto es lo que pasa cuando aportáis ideas a los publicistas !
    http://www.kia.es/especial-sportage/?utm_source=CincoDias&utm_medium=CPM&utm_term=Sportage&utm_content=Robapaginas&utm_campaign=SPORTAGE

    Sin animo de hacer publicidad a la marca pero la autopista esta de «gromenahuer» que comentabais en la primera entrada del blog para ponerle nombre se hizo realidad 😉

    1. Avatar de David Orden

      Freud: Qué preciosidad de banda de Möbius, gracias. Los trenes también se apuntan a esta moda; http://ztfnews.wordpress.com/2012/11/19/no-para-no-para-no-para/

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Soy profesor del área de Matemática Aplicada en la Universidad de Alcalá. Me interesa aprender y ayudar a aprender. Me gusta conectar las matemáticas con otros campos. Cuento cosas en Twitter como @ordend. Tengo una página profesional con más información.

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Este blog trata sobre matemáticas, miradas desde distintos puntos de vista. Pretende ser cooperativo, porque seguro que hay algo de lo que sabes más que otros y, aunque no lo hayas pensado nunca, tiene matemáticas detrás. Queremos pasarlo bien jugando a pensar y ayudarnos entre todos a aprender cosas. Puedes seguir a @cifrasyteclas en Twitter o visitarnos en Facebook.

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  1. Hola, cualquier número (que no sea 0) elevado a la 0 da 1. Saludos

  2. Muy interesantes explicaciones, tanto para 0! como para nº(exponente 0). El tema se me ha actualizado a razón de algunas…

  3. Es ninguna forma xq no tiene nada q acomodar. Es increíble cómo han hecho ley l operación más absurda q…

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