Comienza septiembre y, en este hemisferio, mientras unos vuelven a la rutina tras las vacaciones, otros ven terminarse los meses que (con suerte) les han dado una oportunidad de trabajo. En este momento de transición, te proponemos analizar los resultados de aquel juego multiplicando las cifras de tu edad.

Para amortiguar el aterrizaje, recordemos en qué consistía el juego. Sólo había una regla, muy sencilla:

Multiplica todas las cifras de tu edad. Si el resultado tiene más de una cifra, multiplícalas todas de nuevo. Sigue así hasta que obtengas un resultado con una sola cifra.

El ejemplo que habíamos puesto era el de alguien de (49) años, que haría lo siguiente:

[49 stackrel{mbox{Multiplica}}{longrightarrow} 36 stackrel{mbox{Multiplica}}{longrightarrow} 18 stackrel{mbox{Multiplica}}{longrightarrow} 8]

Ese número de una sola cifra (en este caso 8) era la raíz digital multiplicativa del número original y el número de veces que habíamos tenido que multiplicar (en este caso 3) era la persistencia multiplicativa.

Los que quisieron participar en el juego sólo tenían que hacer los cálculos con su edad y enviarnos los resultados a través de un formulario anónimo. Hasta ahora hemos conseguido 100 respuestas (¡¡gracias a todos!!), lo que tiene la ventaja de que los porcentajes serán fáciles de calcular 😉

Empecemos por la raíz digital multiplicativa; éstos son los datos para la muestra que forman vuestras respuestas:

Y éstos son los datos para las edades desde (0) hasta (99) años:

Aunque podríamos restringir el rango de edades (de hecho, en vuestras respuestas la edad mínima ha sido (13) años y la máxima (66)), si te parece vamos a dejarlo así. De este modo todo es más redondo y podemos hacernos la ilusión de que el rango de edades recomendado para este blog es de (0) a (99) años, más que el de los puzzles 🙂

Si comparas ambas imágenes, verás que no hay grandes diferencias en los porcentajes, salvo para las raíces digitales 8 y 9; ésta última ha sido bastante más frecuente en nuestra muestra.

También puedes observar que sólo hay dos números entre (0) y (99) cuya raíz digital multiplicativa es 1. ¿Cuáles son? Efectivamente, el (1) y el (11). Lo que puede que te resulte llamativo es que sólo haya tres números con raíz digital multiplicativa 7. ¿Te animas a pensar cuáles son?

Como seguro que ya los tienes, vamos a estudiar ahora la persistencia multiplicativa. Primero, los datos para vuestras respuestas:

Y luego los resultados para los números del (0) al (99):

Como ves, en nuestra muestra la persistencia multiplicativa 1 ha sido más frecuente, en detrimento de la 3. También puedes observar que entre (0) y (99) hay exactamente un número cuya persistencia multiplicativa es 4, pero que ese número no ha aparecido en nuestra muestra. Te dejo un rato para que pienses cuál es…

…¿ya lo tienes? Voy a darte una pista; es un número muy relacionado con el portal que nos acoge…

…claro, es el número (77). Este número es el primero de los naturales que tiene persistencia multiplicativa 4 (y es el más persistente de los cien primeros números). Ésta es la segunda propiedad interesante del (77) y forma parte del Reto 77, en el que proponíamos encontrar propiedades interesantes de este número (en este enlace podrás encontrar todas las entradas al respecto).

Como todo este blog, el reto está abierto a todos. Si te apetece participar ya sabes; sólo tienes que buscar una propiedad del número (77) que te parezca interesante y decírnoslo. Estaremos encantados de dejarte probar un volante en esta humilde escudería.

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Para saber más:

Si te interesa conocer qué patrones siguen, puedes descargar las gráficas de las raíces digitales multiplicativas y de las persistencias aditivas para los números entre (0) y (99) (quizá tengas que hacer zoom para verlas bien). Tanto estas gráficas como los recuentos anteriores están hechos con Sage, un software libre y de código abierto.

Puede ser interesante pensar un poco para tratar de encontrar un patrón en los números con una persistencia concreta. Por ejemplo, ¿cuáles son los números entre (0) y (99) que tienen persistencia multiplicativa 1? ¿Y si no te paras en el (99)?

En la entrada en que proponíamos el juego tienes varios enlaces sobre persistencia multiplicativa. Hay alguno más lo bastante interesante como para incluirlo aquí. Uno que no puede faltar es la secuencia A003001, formada por el menor número con persistencia multiplicativa 0, después el menor con persistencia 1, luego el menor con persistencia 2,… Es decir, la secuencia que para cada (n) contiene el primer número con persistencia (n). Los primeros términos de esta secuencia son (0, 10, 25, 39, 77, 679,ldots) y, como ves, hay un salto considerable desde el primero con persistencia 4, que es nuestro (77), hasta el primero con persistencia 5, que es el (679).

Una secuencia parecida a la anterior es la A046500, que para cada (n) contiene el primer número primo con persistencia multiplicativa (n). Como el (77) no es primo, no está en esta lista, pero es interesante comprobar que el primer número primo con persistencia 4 es el (277)… que es precisamente el primer número primo en el que aparece el (77). ¿Interesante, verdad?

En una entrada anterior, solución a un juego similar, puedes encontrar información sobre la Ley de los grandes números y qué cabría esperar si nuestra muestra fuera mucho más grande.