¿Cuántas cartas hacen falta para construir un castillo de naipes? (Reto 77, propiedad 1)

¿Cuántas cartas hacen falta para construir un castillo de naipes? (Reto 77, propiedad 1)

Si éste es el blog de matemáticas de km77.com,  además de combinar matemáticas y coches no podíamos dejar de hablar del número 77. Y ya que estamos, vamos a intentar hacerlo más divertido proponiéndonos un reto:

¿Cuántas propiedades seremos capaces de encontrar (y explicar) para el número 77? ¿Conseguiremos entre todos llegar a las 77 propiedades?

Los que estamos a este lado del blog iremos enseñándote algunas cosas sobre el número 77, pero también contamos contigo para que nos ayudes. Si se te ocurre alguna propiedad que te parezca interesante, puedes escribirnos al correo que aparece en la columna de la derecha. Los números son juguetones y a veces se esconden donde menos te lo esperas.

Como propiedad número 1, hoy vamos a ver cómo el número 77 aparece cuando construimos castillos de naipes. Sigue leyendo si quieres saber dónde.

Bryan Berg y uno de sus records Guinness con naipes (rascacielos de cartas)

Quizá hayas intentado alguna vez apilar cartas sin que se caigan. Quizá no, pero te imaginarás que puede resultar tan desafiante como frustrante.

Al preparar esta entrada he descubierto que hay verdaderos expertos en el arte de crear estructuras con cartas. El mejor de ellos parece ser Bryan Berg, que es capaz de hacer estructuras como la de la imagen sin usar ningún tipo de sujeción, lo que le ha permitido conseguir varios récords Guinness.

En su página web podrás ver otras estructuras como la torre más alta hecha con cartas, que mide ¡alrededor de 8 metros de alto!

 

Pero nosotros vamos a conformarnos con el nivel principiante. Vamos a construir el que probablemente sea el castillo de naipes más básico:

  • Cada piso estará formado por pares de cartas colocados como una V invertida, es decir, así (bigwedge).
  • Entre cada dos pisos uniremos cada par de cartas (bigwedge) con el que tiene a su lado, usando una carta colocada en horizontal.

Si conseguimos hacerlo con tres pisos, el resultado será parecido a éste:

Castillo de naipes con tres pisos

Ahora viene la pregunta del título, ¿cuántas cartas hacen falta para construir uno de estos castillos de naipes? Por supuesto, depende de cuántos pisos queramos levantar:

  • Para 1 piso usaremos 1 par de cartas, así que tenemos (1cdot 2) cartas.
  • Para 2 pisos usaremos, además de lo anterior:
    • Dos pares de cartas, es decir, (2cdot 2) cartas en el segundo piso empezando por arriba.
    • (1) carta separando este piso del anterior.
  • Para 3 pisos usaremos, además de lo anterior:
    • Tres pares de cartas, es decir, (3cdot 2) cartas en el tercer piso empezando por arriba.
    • (2) cartas separando este piso del anterior.
  • Para 4 pisos usaremos, además de lo anterior:
    • Cuatro pares de cartas, es decir, (4cdot 2) cartas en el tercer piso empezando por arriba.
    • (3) cartas separando este piso del anterior.

¿Que no lo ves claro? No hay problema, puedes contarlas en esta imagen de un castillo de naipes con cuatro pisos:

Castillo de naipes con cuatro pisos

Si te fijas un poco, podrás ver un patrón en la lista anterior; para un número (n) de pisos hay que usar

((1+2+cdots+n) cdot 2) cartas en los pisos

junto con

(1+2+cdots+(n-1)) cartas separando los pisos.

Por ejemplo, para (n=7) tendremos

((1+2+cdots+7) cdot 2=28cdot 2=56) cartas en los pisos

junto con

(1+2+cdots+6=21) cartas separando los pisos.

Así que, como (color{red}{56}+color{blue}{21}=77), resulta que

Hacen falta 77 cartas para construir un castillo de naipes con 7 pisos.

Pero no he encontrado ninguna imagen de un castillo de naipes que tenga 7 pisos, así que ahí va otro reto. Si consigues construir uno y nos envías la foto, la colgaremos aquí para que todo el mundo vea lo manitas que eres. ¿Te atreves?

Imágenes: Página web de Bryan BergCarl Glover en Flickr, peterjroberts en Flickr.

Puedes seguirnos en Twitter, Facebook y Google +.

Nota: Esta entrada ha llegado al Olimpo en Divoblogger.

Para saber más:

Para calcular el número de cartas necesario podemos utilizar una propiedad que habrás visto si te han contado alguna vez lo que es una progresión aritmética: [1+2+3+cdots+n=frac{ncdot (n+1)}{2}quad (star)]

Si no te lo han contado nunca, puedes intentar demostrarlo usando la técnica de inducción de la que hablamos en una entrada anterior, o puedes convencerte de una manera más visual como nos ha contado hace poco nuestra amiga Mati.

Y ahora que sabes esto, si miras otra vez el número de cartas que hacen falta para (n) pisos verás que son:

((1+2+cdots+n) cdot 2stackrel{(star)}{=}frac{ncdot (n+1)}{2}cdot 2) cartas en los pisos

junto con

(1+2+cdots+(n-1)stackrel{(star)}{=}frac{(n-1)cdot n}{2}) cartas separando los pisos.

Y por tanto en total el número de cartas será [color{red}{frac{ncdot (n+1)}{2}cdot 2}+color{blue}{frac{(n-1)cdot n}{2}}=frac{2cdot ncdot (n+1)+(n-1)cdot n}{2}=frac{ncdot (2(n+1)+(n-1))}{2}=frac{ncdot (2n+2+n-1)}{2}=frac{ncdot (3n+1)}{2}] que para (n=7) nos da, efectivamente, 77.



11 respuestas a «¿Cuántas cartas hacen falta para construir un castillo de naipes? (Reto 77, propiedad 1)»

  1. Avatar de Angel_
    Angel_

    Muy bonito lo del 77, sin embargo el 73 es «el Chuck Norris de los números» Leonard Dixit.
    Es el 21er número primo. 7×3 es precisamente 21, que expresado en binario, 10101, es un palíndromo, (puede leerse del derecho y del revés)
    Al revés, el 37, resulta también ser primo
    En binario, 73 es 1001001, un palíndromo.
    en.wikipedia.org/wiki/73_(number), aunque cualquiera con un poco de cultura cinematográfica lo sabe =).
    Quizá nos pueda deleitar en alguna ocasión con una de mis paradojas preferidas, el problema de Monty Hall, gracias.

    1. Avatar de David Orden

      El 73 es muy interesante también (y en alguna serie ha dado grandes momentos), pero el 77 es nuestro anfitrión. 🙂 Sobre el problema de Monty Hall; lo tengo en mente, pero estoy intentando encontrar la forma más convincente de explicarlo. Me lo apunto. Gracias.

  2. Avatar de Javier Moltó

    David, muchas gracias por plantear el reto 77. Es muy bonito.

    Angel_, con el 77 y un eje de simetría construyes castillos de naipes. Con el 73 está difícil 🙂

    1. Avatar de David Orden

      Javier, esperaba que te gustase 🙂

  3. Avatar de Patri Caos

    Me ha parecido muy curioso el artículo. Yo no tendría paciencia ni para hacer un minicastillo, jaja.
    Felicidades por el blog, ha sido en gran descubrimiento 😉

    1. Avatar de David Orden

      Tengo que reconocer que yo no recuerdo haber intentado nunca un castillo de estos 🙂 Gracias por los ánimos; también hemos descubierto tu blog.

  4. […] algunas entradas habíamos arrancado el Reto 77, consistente en encontrar propiedades de dicho número. Esta entrada avanza una propiedad […]

  5. Avatar de José
    José

    Todo es entendible en las formulas menos los «…» eso que significa? Ya que tiene que tener cierto valor numerico para que te de las 21 cartas separando los pisos.
    Soy estudiante de preparatoria de 3er semestre y honestamente todo es entendible menos eso disculpen la ignorancia solo que tengo esa duda =)

    1. Avatar de David Orden

      @7 José: Los puntos suspensivos significan que se repite el patrón. Por ejemplo; (1+2+3+cdots +9) es (1+2+3+4+5+6+7+8+9).

  6. Avatar de José
    José

    MUCHAS GRACIAS! Ahora si todo esta claro aprendí otra cosa hoy, Saludos! =))

  7. Avatar de Alex Alvarez
    Alex Alvarez

    Hace un tiempo atrás estaba haciendo una tarea para la Universidad y tuve que calcular la cantidad de cartas para 10 pisos. Después de analizar el problema descubrí que la formula que me entrega el total de cartas dependiendo del numero de pisos es:
    (3*n^2 + n)/2 con n numero de pisos.

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Soy profesor del área de Matemática Aplicada en la Universidad de Alcalá. Me interesa aprender y ayudar a aprender. Me gusta conectar las matemáticas con otros campos. Cuento cosas en Twitter como @ordend. Tengo una página profesional con más información.

Sobre el blog

Este blog trata sobre matemáticas, miradas desde distintos puntos de vista. Pretende ser cooperativo, porque seguro que hay algo de lo que sabes más que otros y, aunque no lo hayas pensado nunca, tiene matemáticas detrás. Queremos pasarlo bien jugando a pensar y ayudarnos entre todos a aprender cosas. Puedes seguir a @cifrasyteclas en Twitter o visitarnos en Facebook.

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