Cifras y Teclas, por David Orden

Paradoja del Cumpleaños

PablR
Paradoja del Cumpleaños

Es posible que conozcáis la paradoja del cumpleaños, pero para aquellos que no, ¿cuál creéis que sería la probabilidad de que en un grupo de 27 personas (una fiesta, reunión, en un bar…) haya al menos dos que cumplan el mismo día?

Por lo general, la gente dice “uf, tiene que ser mucha casualidad, será una probabilidad muy pequeña”.

Pues lo cierto es todo lo contrario, de hecho, para 23 o mas, ya supera el 50%, en el caso de 27 personas como hemos propuesto, nos encontramos con un 62,7% de probabilidad de que haya dos personas que cumplan los años el mismo día.

Haciendo la reflexión matemática, debemos tomar un número de personas n\leq 365 puesto que para grupos mayores de 365 la probabilidad es 1 (100%).
Calculamos una probabilidad “p” de que no haya dos personas que cumplan los años el mismo día y después realizamos 1-p para hallar la probabilidad de que haya al menos dos personas.
Ahora bien, la probabilidad de que una persona no coincida con otra en su cumpleaños es casos favorables (todos los días del año excepto uno) entre casos posibles, de esta manera \frac{364}{365}. Si incluimos otra persona, la probabilidad de que no coincida será de \frac{363}{365} y así sucesivamente.

Por tanto, y según la regla del producto, la probabilidad para dos o mas sucesos independientes (Es independiente por que si coincide un cumpleaños, no implica que pueda coincidir otro, no influye), es igual al producto de sus probabilidades individuales. Es decir, para n personas tendremos la expresión:

p=\frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdots \frac{365-n+1}{365}

Expresada con factoriales

p=\frac{365!}{365^{n}\cdot (365-n)!}

Esta es la probabilidad de que no coincida el cumpleaños de dos personas. Si queremos la probabilidad de que haya al menos dos personas que cumplan el mismo día, la expresión será 1-p.

Es decir :

1-\frac{365!}{365^{n}\cdot (365-n)!}

Si tomamos algunos valores.
Para n=15 obtenemos una probabilidad de 0.253.
Para n=23 ya pasamos el 50%, exactamente obtenemos una probabilidad de 0.507.
Para n=27, obtenemos 0.627.
Para n=40, llegamos casi al 90%, con 0.891.
Para n=80, el resultado es de 0.99991, más del 99%.

Podemos juguetear un poco con este simulador, para distintos valores de n.

La gráfica que nos encontramos es la siguiente:

 

Probabilidad de que 2 cumpleaños coincidan el mismo día

 

 

Normalmente cuando nos planteamos el problema solemos pensar en encontrar alguien que coincida con nuestro cumpleaños, cuando en realidad buscamos a cualquier pareja de dos personas del grupo que cumplan el mismo día. Evidentemente si buscamos a alguien que coincida con nosotros la probabilidad será muy pero que muy baja.
En conclusión, fíate de la razón pues la intuición no te dará la solución.

 

Imagen: Wolfram Demonstration

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29 respuestas a «Paradoja del Cumpleaños»

  1. Avatar de Chandler
    Chandler

    En una de mis clases de hace 3 años, dos de mis alumnos y yo cumplíamos el mismo día. A ellos les flipaba, pero claro, aún eran pequeños como para hablarles de probabilidad.

    Responder
  2. Avatar de Javier Moltó
    Javier Moltó

    Hola PabIR,

    Quizá yo esté dormido, pero…

    ¿No me estás pidiendo ningún acto de fe en esta explicación del cálculo de probabilidades?

    Yo creo que sí. Cuando dices:

    «Por tanto, para n personas nuestra expresión será…»

    No veo de dónde sale ese «por tanto» ni la inmediatez de esa expresión.

    Mañana lo miro despacio, pero creo que falta una justificación para ese «por tanto».

    Gracias por hacernos disfrutar aprendiendo 🙂

    Responder
    1. Avatar de PablR
      PablR

      Javier, tienes razón. Debo añadir: Por tanto y según la regla del producto, la probabilidad para dos o mas sucesos independientes (Es independiente por que si coincide un cumpleaños, no implica que pueda coincidir otro, no influye), es igual al producto de sus probabilidades individuales. Es decir, para n personas tendremos la expresion: [p=frac{364}{365}cdot frac{363}{365}cdots frac{365-n+1}{365}]

      Responder
  3. Avatar de tenanes
    tenanes

    La primera vez que me topé con esta paradoja fue en un libro de Martin Gardner. Lo bueno es que siempre tenemos un ejemplo cercano para comprobarlo escogiendo un grupo n de nuestros familiares y amigos.
    En mi caso, tengo un caso que tres primos cumplen años el mismo día. Cuando eres pequeño te sorprende bastante, luego cuando avanzas por el mundo de la probabilidad descubres que no es algo tan extraño.

    Responder
  4. Avatar de Javier Moltó
    Javier Moltó

    Gracias PablR.

    Es posible que mis preguntas hagan descender demasiado el nivel. Espero que no.

    Tu frase es explica la fórmula, pero no la justifica. Al ver la fórmula entiendo la explicación. Lo que sucede es que tengo que creérmela.

    ¿Por qué la probabilidad para dos o más sucesos independientes es igual al producto de sus probabilidades? Eso requiere demostración.

    Quizá sea una demostración trivial y por eso digo que quizá haga descender demasiado el nivel y no quiero. Lo que sí sé es que no es inmediato para mí.

    Recuerdo que cuando estudiaba, como nunca he tenido nada de memoria, tenía que deducir todas las fórmulas casi desde cero, desde lo más básico, explicarme todos los pasos en cada problema, para llegar a un resultado. Me sigue pasando lo mismo. Seguramente debiera recordar que es así y por qué es así, pero no lo recuerdo.

    Lo miro despacio hoy, cuando saque media hora. Necesito entender las cosas. No me creo nada. Ni el paso más pequeño. 🙂

    Muchas gracias

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    1. Avatar de PablR
      PablR

      Javier, no pasa nada, para eso estamos.
      Te comento, en probabilidad hay diversas operaciones con sucesos, entre ellas la intersección o la unión. Suceso unión ((Acup B)), ocurre cuando ocurren A “o” B, pero no necesariamente ambos a la vez, esto sería la probabilidad de la suma. Mientras que la intersección ((Acap B)), ocurre cuando ocurren ambos sucesos, A “y” B, es decir el producto de ambas.
      Corsario a puesto un buen ejemplo de intersección, si tiramos una moneda, la probabilidad de cruz es ½, y si tiramos dos a la vez, será la probabilidad de que una salga cruz “Y” que la otra moneda también salga cruz, es decir (frac{1}{2}cdot frac{1}{2} = frac{1}{4})
      Es importante asumir que los sucesos sean independientes, como ya dije, que no dependan o influyan.
      En la paradoja, se dan muchas intersecciones, concretamente para n personas.
      Espero haberte resuelto las dudas Javier.

      Responder
  5. Avatar de Corsario
    Corsario

    No vale como demostración, pero al menos será un ejemplo muy básico:
    – Si tiro una moneda al aire, la probabilidad de que salga cruz es 50%
    – Si tiro dos, la probabilidad de que ambas sean cruz es 25% (hay 4 posibles soluciones y sólo 1 es ambas cruz) = 50% x 50%
    – Si tiro 3,…
    Para llegar a una demostración empírica habría que dar algunos pasos más, pero vamos, en principio le podría valer 😉

    Siempre me han gustado las matemáticas. Curioso el blog. Me gusta

    Responder
  6. Avatar de David Orden
    David Orden

    Enhorabuena, PablR. Una pregunta, por curiosidad, ¿por qué empiezas con un grupo de 27 personas y no con otro número?

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    1. Avatar de PablR
      PablR

      En un principio pensé en un grupo de 77 personas pero la probabilidad es demasiado grande y lo cambié a 27. El por qué?, por que 27 son los días que tarda la luna en dar la vuelta a la tierra, por que 27 letras tiene el abecedario castellano. No en realidad por que me resultó mas bonito que el 26 😉

      Responder
  7. Avatar de El Ángel Guardían
    El Ángel Guardían

    Para Javier Molto y la petición de «acto de fe»
    La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.
    Existen diversas formas como método abstracto, como la teoría Dempster-Shafer y la teoría de la relatividad numérica, esta última con un alto grado de aceptación si se toma en cuenta que disminuye considerablemente las posibilidades hasta un nivel mínimo ya que somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de relatividad.
    La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en términos de una fracción y no en porcentajes, por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por otra parte, la probabilidad de que un evento «no ocurra» equivale a 1 menos el valor de p y se denota con la letra q:
    P(Q)=1-P(E)
    Los tres métodos para calcular las probabilidades son la regla de la adición, la regla de la multiplicación y la distribución binomial.
    Regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.
    P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente. P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son no excluyentes. Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B.
    Por ésta es por la que preguntaba el Sr. Molto, aquí va:
    La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.
    P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes. P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes
    Regla de Laplace establece que:

    La probabilidad de ocurrencia de un suceso imposible es 0.
    La probabilidad de ocurrencia de un suceso seguro es 1, es decir, P(A) = 1.
    Para aplicar la regla de Laplace es necesario que los experimentos den lugar a sucesos equiprobables, es decir, que todos tengan o posean la misma probabilidad.

    La probabilidad de que ocurra un suceso se calcula así:
    P(A) = Nº de casos favorables / Nº de resultados posibles

    Esto significa que, probabilidad es igual al numero de casos favorables sobre o dividido el número de resultados total de resultados posibles.

    Distribución binomialLa probabilidad de ocurrencia de una combinación específica de eventos independientes y mutuamente excluyentes se determina con la distribución binomial, que es aquella donde hay solo dos posibilidades, tales como masculino/femenino o si/no.

    1.Hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes en cada ensayo u observación.
    2.La serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes.
    3.La probabilidad de éxito permanece constante de ensayo a ensayo, es decir el proceso es estacionario.
    Para aplicar esta distribución al calculo de la probabilidad de obtener un número dado de éxitos en una serie de experimentos en un proceso de Bermnoulli, se requieren tres valores: el número designado de éxitos (m), el número de ensayos y observaciones (n); y la probabilidad de éxito en cada ensayo (p).
    Entonces la probabilidad de que ocurran m éxitos en un experimento de n ensayos es:
    P (x = m) = (nCm)(Pm)(1−P)n−m
    Siendo: nCm el número total de combinaciones posibles de m elementos en un conjunto de n elementos.
    En otras palabras P(x = m) = [n!/(m!(n−m)!)](pm)(1−p)n−m
    Un ejemplo. La probabilidad de que un alumno apruebe la asignatura Cálculo de Probabilidades es de 0,15. Si en un semestre intensivo se inscriben 15 alumnos ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 10 de ellos?
    P(x = 10) = 15C10(0,15)10(0,85)5 = 10!/(10!(15−10)!)(0,15)10(0,85)5 = 7,68 * 10−6 Generalmente existe un interés en la probabilidad acumulada de «m o más » éxitos o «m o menos» éxitos en n ensayos. En tal caso debemos tomar en cuenta que:
    P(x m) = P(x = m+ 1) + P(x = m+ 2) + P(x = m+3) +….+ P(x = n)
    P(x ≤ m) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +….+ P(x = m)
    P(x ≥ m) = P(x = m) + P(x = m+1) + P(x = m+2) +….+ P(x = n)
    Supongamos que del ejemplo anterior se desea saber la probabilidad de que aprueben:
    a.− al menos 5
    b.− mas de 12
    a.− la probabilidad de que aprueben al menos 5 es:
    P(x ≥ 5) es decir, que:
    1 – P(x 12) es decir, que:
    P(x > 12) = P(x = 13)+P(x = 14)+P(x = 15)
    P(x > 12) = 1,47 *10−9 +3,722 *10−11 +4,38 *10−13 = 1,507 *10−9
    La esperanza matemática en una distribución binomial puede expresarse como:
    E(x) = np = 15(0,15)=2,25
    Y la varianza del número esperado de éxitos se puede calcular directamente:
    Var(x) = np(1−p)= 15(0,15)(1-0,15)=1,9125 Estadisticas y probabilidades, con sus diferentes diagramaciones como: diagrama d ebarras. diagrama de linea. y diagrama de circulos que se aplican de acuerdo a el tipo de estadisticas y probabilidades matematicas.
    Chimpón.
    Quiero decir con esto que NO supone un ACTO DE FÉ, sino un acto de razón que entiendo se pretende encontrar aunque la entrada es muy válida.
    Por terminar, referido al comentario de Pablr sobre el número 27, es en apariencia más bonito que el 26 pero éste te dará siempre más beneficios que ninguno y cómo no tiempo de explicarlo por tiempo y espacio (siempre me termina apareciendo Enstein) en otra ocasión será.
    Un saludo y gustito me da leer esto.

    Responder
    1. Avatar de David Orden
      David Orden

      El comentario anterior hubiera sido mucho más digerible (y más justo) si se hubieran puesto la primera línea, luego el enlace a la fuente http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad#Teor.C3.ADa y luego las siete últimas líneas. Habrá que pensarse si editar comentarios así en sucesivas ocasiones.

      Responder
  8. Avatar de Carlos
    Carlos

    Interesante artículo. Me recuerda a una conversación con una amiga hace unos meses.
    Todo viene a raíz del mito de que uno de los números que aparecen en el anverso del DNI es el número de personas con el mismo nombre y apellidos que el de ese DNI. En el mío aparece un 6, y aún sabiendo que eso no quiere decir que haya 6 personas en españa con mi nombre y apellidos, yo sostenía que no me parece tan improbable que las hubiese. Mi amiga por el contrario opinaba que era un hecho casi imposible. ¿Qué opinan?

    Carlos

    Responder
    1. Avatar de David Orden
      David Orden

      Es una cuestión interesante. Dependerá del nombre y los apellidos; está claro que los hay más comunes que otros. Para juguetear con frecuencias de nombres y apellidos se puede usar la base de datos del Instituto Nacional de Estadística.

      Responder
  9. Avatar de Cornelius
    Cornelius

    @11 David @9 PablR

    Me gustaría saber como escribir las expresiones matemáticas en los comentarios así, tan perfectas, como lo hacen ustedes. (Es un HTML turbio para matemáticos, LaTeX, brujería,…)

    Responder
    1. Avatar de David Orden
      David Orden

      Deseo concedido 🙂 Es LaTeX (una ayuda aquí y aquí) usando seguido de ( para abrir una expresión LaTeX y seguido de ) para cerrarla.

      Responder
  10. Avatar de centurix
    centurix

    para Cornelius:

    http://www.mathjax.org/

    ​​​
    ​…​​
    p=frac{364}{365}cdot frac{363}{365}cdots frac{365-n+1}{365}​

    Responder
  11. Avatar de centurix
    centurix

    El contenido matemático en las páginas web se puede presentar de dos formas. Ambas utilizan el lenguaje MathML.
    En el lado del servidor se suele utilizar el motor de renderizado MathJax. De esta forma no se necesita nada por parte del navegador para ver correctamente as expresiones matemáticas.
    La otra forma es utilizar un navegador moderno que soporte MathML (todos los navegadores modernos lo soportan) y es el motor de navegador (Gecko en Mozilla, Webkit en Chrome y Safari, Trident en IE) el que presenta en pantalla las expresiones matemáticas.
    Las fracciones del quinto párrafo se escriben así:

    363
    365

    Responder
  12. Avatar de Cornelius
    Cornelius

    @15 David @16 centurix

    Muchas gracias, voy a probar:

    S=frac{(a_1+a_n)cdot a_n}{2}

    Responder
  13. Avatar de Cornelius
    Cornelius

    Aver ahora:

    S=frac{(a_1+a_n)cdot a_n}{2}

    Responder
  14. Avatar de Cornelius
    Cornelius

    S=frac{(a_1+a_n)cdot a_n}{2}

    Responder
  15. Avatar de Cornelius
    Cornelius

    Bien, bien,…¡Estoy triunfando!

    Responder
  16. Avatar de David Orden
    David Orden

    Creo que falta poner seguido de ( al principio de la fórmula (sin espacio entre ellos) y seguido de ) al final. Quedaría así:

    (S=frac{(a_1+a_n)cdot a_n}{2})

    Responder
  17. Avatar de Cornelius
    Cornelius

    @22 David

    ¡Gracias! Ahora si que si. (sum_{i=1}^{infty}frac{1}{2^n}=1)

    Responder
    1. Avatar de David Orden
      David Orden

      ¡Funciona! Es un placer ayudar 🙂

      Responder
  18. Avatar de filomates
    filomates

    Tema muy interesante, no hay más que leer los comentarios en muchas páginas de internet donde se trata el problema del cumpleaños, para comprobar que es antiintuitivo. En muchas páginas de internet se trata el tema, no sólo en wikipedia.

    Recomiendo una página donde se trata el tema pero también se citan direcciones interesantes sobre el asunto.

    http://parafernaliasmatematica…

    En general, casi todo lo que atañe a la probabilidad contradice bastante a la intuición.
    Te recomiendo que busques en google la frase «el azar no tiene memoria» para profundizar sobre el tema.

    Además la página siguiente contiene información sobre otra paradoja relacionada con la probabilidad: el problema de Monty Hall
    http://parafernaliasmatematica…

    Responder
  19. Paradoja del Cumpleaños | Cifras y Tecla…

    […]   […]

    Responder
  20. ¿Es raro que en tu clase coincidan dos cumpleaños el mismo día? | El equipo pi

    […] saber más, te recomiendo leer la entrada Paradoja del cumpleaños en Cifras y Teclas y las referencias que allí se […]

    Responder
  21. Avatar de El pedo de los pedos
    El pedo de los pedos

    Muchas gracias en serio que fue el articulo mas inutil que haya visto en mi vida.xdxd ;;;;;;;….:v ()v /v {}v []v.

    Responder
  22. Avatar de Javier
    Javier

    La paradoja del cumpleaños es una curiosidad matemática increíble. ¡Me flipa! Os dejo por aquí como verificar su validez en R https://estadisticamente.com/la-paradoja-del-cumpleanos

    Responder

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Sobre el autor

Soy profesor del área de Matemática Aplicada en la Universidad de Alcalá. Me interesa aprender y ayudar a aprender. Me gusta conectar las matemáticas con otros campos. Cuento cosas en Twitter como @ordend. Tengo una página profesional con más información.

Sobre el blog

Este blog trata sobre matemáticas, miradas desde distintos puntos de vista. Pretende ser cooperativo, porque seguro que hay algo de lo que sabes más que otros y, aunque no lo hayas pensado nunca, tiene matemáticas detrás. Queremos pasarlo bien jugando a pensar y ayudarnos entre todos a aprender cosas. Puedes seguir a @cifrasyteclas en Twitter o visitarnos en Facebook.

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