El teorema del revuelto de patatas y pimientos

El teorema del revuelto de patatas y pimientos

Llevas varios días volviendo tarde del trabajo y cenando un triste sándwich de jamón y queso. Pero hoy has llegado pronto y para darte una alegría preparas una tortilla de patatas con pimientos. Aunque el resultado parece más bien un revuelto, con una forma irregular, tu amigo el matemático te explica que siempre lo podréis repartir de manera que ambas mitades tengan la misma cantidad de cada uno de los ingredientes. Y con un solo corte recto, sin hacer cosas raras. Desde ahora puede que en ocasiones veas matemáticas en tus comidas.

Pasa, pasa, ya ves qué desastre me ha salido. No sé si llamarlo tortilla o revuelto, pero espero que esté bueno. Cuando vas a cortar tu creación te das cuenta de que tienes un problema. Si fuera una tortilla bien hecha no sería difícil cortarla en dos mitades más o menos iguales, pero con esta forma tan irregular que tiene…

Revuelto de patatas con pimientos (Espe Saavedra)

 

¿Por qué no la cortas tú, que para eso eres matemático? propones aliviado. Al instante sabes que la sonrisa de tu amigo presagia una de sus explicaciones.

Así que quieres ponérmelo difícil… pues te voy a sorprender. No sólo es posible cortarlo de forma que los dos comamos la misma cantidad de revuelto. Se puede hacer de una manera más equitativa todavía, de forma que:

  • Tu mitad tiene el mismo volumen de huevo que la mía,
  • tu mitad tiene el mismo volumen de patatas que la mía, y
  • tu mitad tiene el mismo volumen de pimientos que la mía.

O sea, de manera que los dos comamos la misma cantidad de cada ingrediente. Y además con un único corte recto, nada de andar haciendo cosas raras. ¿Qué te parece?

Revuelto cortado de manera totalmente equitativa

Deja que lo piense… ¿repartir por igual cada uno de los ingredientes en ambas mitades? ¿por muy revueltos que estén? Me parece increíble.

Pues créetelo. Hay un resultado matemático que, aplicado a nuestro caso, dice que

Si en tu comida hay tres ingredientes distinguibles y con volumen, entonces es posible separarla en dos mitades que tienen exactamente el mismo volumen de cada uno de los ingredientes, usando un único corte recto.

Este resultado se conoce como el Teorema del sándwich de jamón, aunque ese nombre quizá no sea el más afortunado. En un sándwich todos los ingredientes tienen más o menos la misma forma y son más o menos planos

Sándwich de jamón

pero este resultado sólo necesita que haya tres ingredientes, que se puedan distinguir y que todos ellos tengan volumen.

No hace falta que tu plato tenga una forma especial, ni que los ingredientes estén colocados de ninguna manera concreta. Da igual que tengas una tortilla o un revuelto. Da igual que tengas una tarta tres chocolates, rectangular y con tres capas bien diferenciadas

Tres chocolates

o un helado con fresas y galletas, más o menos arremolinados

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Siempre podrás dividir de esta manera tan equitativa, con el mismo volumen de cada ingrediente en ambos lados, usando un único corte recto.

¡Fascinante! ¿Y qué pasa si tengo más de tres ingredientes? preguntas con curiosidad.

Entonces el resultado ya no es cierto, pero siempre puedes agrupar los ingredientes en tres categorías. Por ejemplo, si tienes una paella mixta podrías agrupar los ingredientes en «arroz», «carne» y «pescado». El teorema te garantiza que existe un corte que deja en ambas mitades el mismo volumen de arroz, de carne y de pescado (aunque puede que tú tengas más calamar y yo más gamba).

Paella

¿Y si tengo menos de tres ingredientes? En este punto el teorema ha conseguido atrapar tu curiosidad.

Entonces sí es cierto; siempre puedes separar un ingrediente en dos categorías, aunque sean artificiales. Si hubieras hecho una tortilla sólo de patata, podrías dividir la patata en dos categorías, por ejemplo «patata cortada al principio» y «patata cortada al final». El teorema garantizaría un corte en que ambas mitades tendrían el mismo volumen de huevo, el mismo volumen de patata del principio y de patata del final. Así, en total ambas tendrían el mismo volumen de patata.

Tortilla (corte transversal)

¿Y si le paso la batidora al huevo con la patata? sigues interesándote.

Entonces ya no podrías usar el teorema, porque necesita que los tres ingredientes se puedan diferenciar. Sí pueden estar en varios trozos, como los ingredientes de tu revuelto, pero tienen que poderse distinguir.

Muy interesante, pero ya va siendo hora de que cortes mi tortilla antes de que se enfríe, ¿no?

Esto… verás: El teorema dice que se puede hacer, pero no dice cómo hacerlo. No hay un método para encontrar ese corte.

¡Matemáticos! ¿Y cómo es posible saber que se puede hacer si no sabéis cómo hacerlo?

Más o menos como tú sabes que, si esta mañana el termómetro estaba bajo cero y ahora está sobre cero, en algún momento ha estado en el cero… aunque no sepas cuándo.

Entiendo. Pues nada, dame el cuchillo que ya corto yo. ¡¡Pero no te garantizo hacerlo de manera tan equitativa!! 😀

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Algunos ejemplos más:

El teorema es cierto en dimensión (d) con (d) ingredientes:

Dados (d) objetos con (d)-volumen en un espacio (d)-dimensional, es posible dividir cada uno de esos objetos en dos partes con el mismo volumen, usando un único hiperplano.

Por ejemplo, en dimensión 1 para cualquier cuerda existe un punto (hiperplano, con dimensión 0) que la divide en dos mitades de la misma longitud.

 Cuerda y pinza

En dimensión 2, para cualquier hoja de periódico existe una línea recta (hiperplano, con dimensión 1) que la separa en dos mitades que tienen el mismo área de blanco y el mismo área de negro.

Periódico

Fíjate en que para esto hace falta que se pueda medir el área en negro de las letras, o sea, que no sean demasiado delgaditas. También hace falta que sólo haya blanco y negro, aunque si hay tonos de grises (o incluso colores) puedes usar el truco de dividirlos en dos categorías (por ejemplo «blanco» y «otros colores»).

Puedes tratar de imaginar en qué otros ejemplos aplicar este teorema y contárnoslo en los comentarios. Pueden ser ejemplos de comida, como un pudin de puerros y gambas o un pan de pasas y nueces, o pueden ser otro tipo de ejemplos: En un partido de fútbol, donde tienes dos equipos y un grupo arbitral, el teorema te asegura que en cualquier instante ¡¡existe un plano que deja en cada mitad el mismo volumen de árbitros, de jugadores de un equipo y de jugadores del otro!!

Instante de un partido de fútbol

Para saber más:

El resultado del que hablamos puede demostrarse usando el Teorema de Borsuk-Ulam. Si quieres informarte un poco más, tienes una idea de la demostración en Mathworld, en inglés. También en inglés, te recomiendo esta entrada de Terence Tao. Si prefieres leer algo en español, puedes hacerlo en esta entrada de Pablo Soberón. El propio Pablo ha demostrado recientemente  (arXiv)» href=»http://arxiv.org/abs/1010.6191″>una generalización de este teorema, repartiendo equitativamente más de una medida (por ejemplo el volumen y también la superficie) en (k) trozos (no sólo en 2 mitades).

Si te quedas con ganas de más, puedes leer la entrada «Researchers solve ham sandwich mystery» en The Guardian, escrita por uno de los organizadores de los premios Ig Nobel.

El teorema también tiene su versión discreta, en la que tenemos puntos de (d) colores en el espacio (d)-dimensional y queremos separarlos con un hiperplano, dejando a cada lado el mismo número de puntos de cada uno de los colores.

Discrete ham sandwich

Sobre este tipo de problemas de cómo dividir equitativamente puntos de dos colores en el plano, quizá te interese este artículo, del que soy coautor.

Conviene no confundir este resultado con la Regla del Sándwich para el cálculo de límites, que es otro motivo para que el nombre del sándwich de jamón no sea del todo afortunado.

Y para terminar, una curiosidad. Resulta que en Pamplona hay un bar llamado El teorema del sandwich. La próxima vez que vaya por aquellas tierras intentaré pasar y preguntarles el porqué del nombre. Si a ti te queda más cerca cuéntanoslo, por favor 🙂

Nota 1: Quiero agradecer a Espe Saavedra su amabilidad dándome permiso para usar la imagen de su receta de revuelto de patata y pimientos. No dejes de visitar su entrada si quieres preparar uno, o su blog si quieres curiosear otras recetas.

Nota 2: Esta entrada participa en la edición 4.123105 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es este humilde blog.

Nota 3: Esta entrada ha llegado al Olimpo en Divoblogger.

Nota 4: Esta entrada pudo votarse en Menéame.

Nota 5: Esta entrada ha llegado a portada en Divúlgame.

Otras imágenes: La imagen del sándwich de jamón está tomada de Wikimedia Commons. La imagen de los tres chocolates está tomada de juantiagues, en Flickr. La imagen del helado con fresas y galletas está tomada de Michael Lehet, en Flickr. La imagen de la paella está tomada de Gabriel García Marengo, en Flickr. La imagen de la tortilla está tomada de Wikimedia Commons. La imagen de la cuerda y la pinza está tomada de andronicusmax, en Flickr. La imagen del periódico está tomada de Javier Leiva, en Flickr. La imagen del partido de fútbol está tomada de Jon Candy, en Flickr. La imagen de los puntos rojos y azules está tomada de Wikimedia Commons.



13 respuestas a «El teorema del revuelto de patatas y pimientos»

  1. Información Bitacoras.com

    Valora en Bitacoras.com: Llevas varios días volviendo tarde del trabajo y cenando un triste sándwich de jamón y queso. Pero hoy has llegado pronto y para darte una alegría preparas una tortilla de patatas con pimientos. Aunque el resultado parece más..…

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  4. Avatar de Pagano
    Pagano

    Así de pronto. Es lo mismo que cortar tres esferas con un plano, que siempre está definido por tres puntos, los centros de las esferas en este caso. En la tortilla sería el «centro de masas» de cada ingrediente.

  5. Avatar de DavidVR
    DavidVR

    Cuando corta tres esferas dispuestas en el espacio mediante una superficie plana que contiene sus respectivos centros geométricos, @1 creo que está usted haciendo varias simplificaciones sobre la propuesta inicial del señor Orden (¡qué apellido tan apropiado para un matemático!) que simplifican enormemente el problema: 1_que todos los trozos de cada ingrediente tienen la misma densidad; 2_que podemos encontrar la misma cantidad de masa de ese elemento partiendo del centro de su “esfera” en cualquier sentido o que está uniformemente distribuida.
    Pero la propuesta no nos dice nada de la densidad ni de distribuciones uniformes, sólo de volúmenes de cada ingrediente iguales a ambos lados del corte. El volumen total a cada lado para un ingrediente concreto, puede estar uniformemente repartido o concentrado, más cerca del corte o bien alejado del mismo, en partes pequeñas, medianas, grandes, o de todo tipo. Lo único que nos pide es que el volumen sea igual pero nada de su distribución.
    Confieso que durante un instante me pareció una buena idea, pero su solución… ¡no puede ser tan simple! Tras la lectura de la entrada de Wikipedia, ¿se han dado cuenta ustedes cuántos cerebros matemáticos se han dedicado a pensar en ello?
    A pesar de todo, para los no-matemáticos probablemente resulte más práctico pactar con el otro comensal en función de otros criterios más mundanos: quién tiene más hambre; te gusta el pimiento o no; el huevo no está bien cuajado y a mí me gusta más hecho; yo me reservo para el postre de tres chocolates con galleta.
    ¿Os habéis fijado cómo saliváis?

    1. Avatar de David Orden

      @1 Pagano @2DavidVR: Pido perdón por no haber contestado antes, pero ayer tocó maratón de clases e ir con la lengua fuera. Usar el centro de masas suele ser la primera intención, pero lamentablemente no funciona. Lo explican bien en el artículo «Leftovers from the Ham Sandwich Theorem» con un ejemplo en dimensión 2. Para un triángulo equilátero, el centro de gravedad es el baricentro, pero las rectas que pasan por él no dividen el triángulo en dos mitades con igual área. Si ahora engordamos un poquito el triángulo ya tendríamos un ejemplo en dimensión 3.

      ¡Gracias por participar! 🙂

  6. Avatar de E. del Arco
    E. del Arco

    Buenas tardes David,
    Me encanta el blog, lo sigo de cerca. Además, yo estudié teleco en la Politécnica de Alcalá, hace ya tiempo. No coincidimos, pero me hubiera gustado mucho a la vista de las explicaciones.

    Estaba pensando en este problema de «separar en d conjuntos en un espacio de d dimensiones con un hiperplano» y ¿eso no lo resuelven las máquinas vector soporte? Entiendo que para un matemático, una SVM es una especie de cuenta de la vieja con cierto estilo (no mucho) y busquéis una solución más elegante, completamente analítica. Pero… ¡funcionan!

    El ejemplo que me pusieron a mi fue sencillo (Prof. Dr. José Luis Rojo) y lo compartiré con vosotros:
    Imagina un campo, visto desde arriba, con ovejas negras y blancas mezcladas de forma aleatoria pero uniforme. Encontrar un plano que divida las ovejas negras de las blancas es, a priori, complicado. Pues bien, nos vamos a un espacio de dimensión mayor, esto es, miramos las ovejas desde el lado y (aquí viene la ñapa, claro), descubrimos que las ovejas negras son más bajitas que las blancas. El plano que separa las ovejas es entonces muy obvio… De alguna manera hemos descubierto una característica del color de las ovejas en una dimensión mayor. Lo llaman el «truco del núcleo».

    Me encantaría una explicación «con tortillas y ovejas» de la relación entre el post y las SVMs.

    Muchas gracias!

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  8. […] quieres una explicación más detallada puedes leer la entrada El teorema del revuelto de patatas y pimientos en el blog Cifras y Teclas. Allí aparecen muchos más ejemplos, repartiendo otras comidas, un […]

  9. Avatar de Hans
    Hans

    Soy Argentino. En la Universidad de la Plata – Argentina – tomaron el sieguiente problema para el ingreso:
    Un calamar lleva en su interior una bolsa (donde según los biólogos guardan los residuos (tinta) de 100 gramos. Cuando la despide pesa 400 gramos.

    Debe contestar: a qué velocidad va el calamar cuando despide la bolsa.

    Muchas gracias

  10. Avatar de Ignazzi Hans
    Ignazzi Hans

    1/2 triste y 1/10 ofendido. Nadie diio una linea o pista de cómo se resuelve el :
    Teorema expuesto por Hans, y publicado el 29 Septiembre, 2015 a las 15:34

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Soy profesor del área de Matemática Aplicada en la Universidad de Alcalá. Me interesa aprender y ayudar a aprender. Me gusta conectar las matemáticas con otros campos. Cuento cosas en Twitter como @ordend. Tengo una página profesional con más información.

Sobre el blog

Este blog trata sobre matemáticas, miradas desde distintos puntos de vista. Pretende ser cooperativo, porque seguro que hay algo de lo que sabes más que otros y, aunque no lo hayas pensado nunca, tiene matemáticas detrás. Queremos pasarlo bien jugando a pensar y ayudarnos entre todos a aprender cosas. Puedes seguir a @cifrasyteclas en Twitter o visitarnos en Facebook.

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