Cifras y Teclas, por David Orden

Una pregunta para pensar

David Orden
Una pregunta para pensar

Cuando uno busca aprender y ayudar a aprender, se agradece mucho recibir comentarios, sugerencias y preguntas. Hace unos días un lector enviaba esta pregunta, que es una buena excusa para pensar un rato:

Si (sqrt{2}) es un número con infinitos decimales… ¿cómo es posible que, al definirlo como la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de tamaño (1), tenga un principio y un fin?

Triángulo rectángulo con ambos catetos de longitud 1 que, por el Teorema de Pitágoras, tiene hipotenusa de longitud raíz de 2

 

Al lector ya le di mi explicación, que quedó por escrito y prometo traer pronto. Pero seguro que todos podemos aprender algo si tú también nos cuentas cómo lo explicarías. ¿Te animas a hacerlo en los comentarios?

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23 respuestas a «Una pregunta para pensar»

  1. Bitacoras.com

    Información Bitacoras.com

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  2. Avatar de Nacho
    Nacho

    No es una respuesta (o sí), sino otra pregunta:
    También es pi con infinitos decimales y si trazas una circunferencia de diámetro 1 y la trazas en sentido antihorario (p.e.) también tiene principio y fin.

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    1. Avatar de David Orden
      David Orden

      @1 Nacho: ¡Muy buena observación! En honor a la verdad, este ejemplo también estaba en la pregunta original… y me lo callé a ver si alguien lo proponía. Ahora toca intentar explicarlo 🙂

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  3. Avatar de Fernando
    Fernando

    Solo se me ocurre una de esas «paradojas» del infinito. Una serie infinita puede tener suma finita, ¿no?

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  4. Avatar de JJ Rodríguez
    JJ Rodríguez

    Bueno, yo también venía a decir un poco lo mismo… ¿Qué sucede con un tercio?
    Y en tono más serio, para hacer pensar: ¿dependerá de la base de numeración el hecho de tener infinitos decimales?

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  5. Avatar de Tomás
    Tomás

    1,0000000000000….. también puede tener infinitos decimales.

    Ver: http://scischoolacademia.blogspot.com.es/2014/06/el-teorema-de-pitagoras.html
    Ver Video: https://www.youtube.com/watch?v=GJ7KNpAYIOg

    Un saludo,

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  6. Avatar de Javier
    Javier

    Porque está acotado por 2.

    1 < raíz(2) < 2 ya que 1 < 2 < 4

    No se si es demasiado simple o se espera otro tipo de demostración, pero creo que es correcta.

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  7. Avatar de Valmhö
    Valmhö

    No tengo ni idea de mates, pero me parece una paradoja semántica como la de los cien euros y los playeros. Que un número tenga infinitos decimales no es lo mismo que sea infinito, tiene que tener principio y final a la fuerza, aunque no sepamos donde esta. A partir de aquí me pierdo y vienen a mi cabeza flashes inconexos de clase de mates de COU. ¿Esta relacionado con la paradoja de la tortuga y el conejo este tema?

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  8. Avatar de El zombi de Schrödinger
    El zombi de Schrödinger

    Desde un punto de vista de la medida: a primera vista nos resulta inconcebible que esa hipotenusa tenga infinitos decimales, y si la medimos con una regla obtendremos un valor del tipo: 1,41 +- 0,05 cm, ya que la medida tendrá asociado un error según el instrumento que usemos. Si vamos mejorando nuestro instrumento de medida iremos obteniendo decimales extras y un error asociado. En ese error asociado están esos infinitos decimales.

    Por otro lado, tal como han dicho, que un número tenga infinitos decimales no quiere decir que su «manifestación» física sea infinita. En ese caso tendríamos un problema con algunos triángulos y con los círculos jeje. En el intervalo [0,1] caben infinitos números reales y lo podemos representar con un simple trazo en una hoja de papel.

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  9. Avatar de José Ángel.
    José Ángel.

    Gracias por la pregunta David. Creo que es una de las grandes preguntas de las matemáticas.
    Si cada número tiene una longitud bien definida, cada decimal de raiz de dos añade su longitud a la longitud total de raiz de dos. Si raiz de dos tiene infinitos decimales, tenemos infinitas longitudes que añadir, una a continuación de la otra. Y sin embargo la longitud total de raiz de dos, después de haber añadido la longitud de cada uno de sus infinitos decimales, no llega ni a tres, o eso parece…
    Otro ejemplo típico que casi todos habrán pensado alguna vez, consiste en observar que para llegar a cualquier lado, primero debemos llegar hasta la mitad. Después, de nuevo hasta la nueva mitad, y así sucesivamente. Aunque estemos a un milímetro, tendremos que recorrer la mitad de ese milímetro antes de llegar a nuestro objetivo, y después la mitad de ese medio milímetro que nos queda… y así descubrir que deberemos pasar por infinitas mitades antes de llegar a nuestro final.
    Quienes no lo hayan hecho, piénsenlo por favor. Intríguense. Convénzanse de que es una paradoja y de lo contario, y viceversa. El camino a la solución sólo puede ser maravilloso. Tanto más cuanto más costoso. No se desanimen. Cuantas más dudas les surjan, más aprenderán. Les aseguro que la solución les llevará de paseo por el infinito, o quizás por algún sitio mejor. Y casi seguro que no necesitan arriesgarse tanto como el gran Hyppasus, según dice William Dunham en «Viaje a través de los genios» (había una versión pdf disponible por ahí).

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  10. Avatar de Elisa
    Elisa

    Es un gran reto explicar esto sin entrar en demasiados detalles matemáticos. Voy a intentar hacerlo: esta raíz es 1,4142….. Fijémonos: 1 es menor que 2. Si a esto le sumo 0,4 el resultado (1,4) sigue siendo menor que 2 porque el 0,4 no hace ‘saltar’ el primer dígito. Si a esto le sumo 0,01 (resultado=1,41) el resultado sigue siendo menor que 2 porque este 0,01 no hace saltar ni el segundo ni aún menos el primer dígito. Bueno, la idea es que si se suman cada vez ‘cositas suficientemente más pequeñas’ pues los dígitos que ya están no se mueven y por tanto el resultado está acotado. Saludos!

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  11. Avatar de José Ángel.
    José Ángel.

    Estimada Elisa, creo que lo ha explicado de maravilla. Yo había pensado algo mucho menos simple y elegante.

    Por si a alguien le viniera bien leer lo mismo con otras palabras; si sumamos los infinitos números:
    1
    0,1
    0,01
    0,001
    0,0001
    0,00001
    0,000001
    …
    0,000… («infinitos ceros») …1

    obtenemos:
    1,111111… («infinitos unos») … 1,

    Es decir, que el resultado de sumar infinitos números no tiene porqué ser infinito; e incluso, como en este caso, puede ser un número más pequeño que el 2.

    Parte de esta «magia», de que al sumar infinitos números no lleguemos ni a 2, podría estar en que los números que vamos sumando son cada vez más pequeños, hasta llegar a ser infinitamente pequeños. Es decir, que las maemáticas son capaces de manejar cantidades infinitamente pequeñas, de sumarlas, y de hacerlo con precisión infinita.

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  12. Avatar de José Ángel.
    José Ángel.

    Y una resta (ésta sólo de dos numeros) que me encantó la primera vez, es:
    2 – 1,99999999999999… (infinitos nueves).
    (Recuerdo que a mí todo esto me costó un poco la primera vez, así que mi admiración para todos aquellos que lo encuentren inmediato).

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  13. Avatar de Joseángel
    Joseángel

    Mientras leía la invitación a la reflexión que nos ha propuesto David y los excelentes comentarios que le siguen no paraba de pensar en 1=0,999999999… que propone mi tocayo. Las matemáticas están repletas de trampantojos que no llegan a la categoría de paradoja pero que nos hacen disfrutar. ¡Vivan las mates!

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  14. Avatar de Elisa
    Elisa

    @11 y @12 José Ángel: El ejemplo 2-1,9999999999 es simplemente buenísimo!

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  15. Avatar de Calzadillas
    Calzadillas

    Creo que, lamentablemete, la explicacion de Elisa es incorrecta. Basta considerar la suma 1+1/2+1/3+1/4+… la cual es «infinita».

    Ahora, en cuanto a la pregunta. Creo que la respuesta es mas bien sencilla, y sin entrar en tecnisismos complicados. Raiz de 2 es el numero b tal que su cuadrado es 2. Este numero b tiene distintas representaciomes. Como son el simbolo sqrt{2}, el simbolo 1,41…. y la representacion geometrica del trazo «hipotenusa».

    Entonces, ¿que tiene de extraño que un numero tenga una representacion que cabe un trozo de papel (repre. Geometrica) y otra que no? ( repre decimal)

    Esto es mas usual de lo que se piensa. Tomese como ejemplo: ¿Como es posible que un sentimiento abstracto puede rpresentarse com simbolos? Como el simbolo (palabra) amor.

    Responder
  16. Avatar de Elisa
    Elisa

    @15 calzadillas: fíjese que no dije ‘la suma de cosas cada vez más pequeñas’, sino ‘la suma de cosas suficientemente más pequeñas’….

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  17. Avatar de Sebastião Vieira do Nascimento
    Sebastião Vieira do Nascimento

    Campina Grande-Paraíba-Brasil, 26 de agosto de 2014
    Não vou responder à pergunta, mas fazer uma pergunta: será que com a hipotenusa igual à raiz quadrada de dois o triângulo é retângulo, ou seja, o ângulo é exatamente de 90 graus?
    Atenciosamente
    Prof. Sebá

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  18. Avatar de Eduardo
    Eduardo

    Si tuvieramos esa raíz de 2 como incógnita tendríamos un triángulo rectangulo con 2 lados de medida 1 u.
    Pitágoras nos decía que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de sus catetos. Por tanto x^2=1^2+1^2
    Quedandonos x^2=1+1=2 y x= raiz de 2
    Si lo representaramos con cuadrados cada lado del triángulo tendríamos 2 de 1 metro cuadrado y un tercero de área 2 puesto que su lado es raíz de 2

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  19. Avatar de José Luis Fernández
    José Luis Fernández

    Creo que también estáis pasando un detalle: un valor numérico puede tener más o menos decimales en función de qué base se use para representarlo.
    Por ejemplo el valor numérico 1,3 (en base decimal) se representa como 1,01001 seguido de infinitas repeticiones de 01001.
    Por tanto, que una representación parezca muy compacta (como por ejemplo 1,3) frente a otra que parece menos compacta (como por ejemplo 1,3 pero expresado en binario) no hace que la realidad cambie y sigue siendo una longitud concreta y existente en el mundo real.
    Por poner un ejemplo, si consideramos como base de medida raiz de dos, la hipotenusa del triángulo rectángulo tendría valor unidad y nadie se sorprendería de que se pudiese construir. En ese caso serían los catetos los que nos llamarían la atención, pero sería exactamente igual.
    Las matemáticas codifican la realidad, pero la realidad no está condicionada por la forma concreta de codificación.

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  20. Avatar de Levis_tm
    Levis_tm

    Pregunta:Si √2 es un número con infinitos decimales… ¿cómo es posible que, al definirlo como la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de tamaño 1, tenga un principio y un fin?
    Respuesta: Es Relativo esa vision e interpretaciion, dependiendo del sistema de medición o numeracion que se utilice, en ese caso se utiliza un sistema decimal, donde la unidad de medida tiene el valor 1, para ese caso particular la raiz de la hipotenusa es un valor irracional, porque no es exacto para el sistema decimal, tiene infinitos decimales, siempre se podrá hallar una aproximacion cada vez mejor y cercana al valor de la √2, es como decir el limite de la aproximacion es √2. Pero no siempre es asi, para otros ejemplos la hipotenusa tiene valores exactos de raiz, caso de √25, obtenido del triangulo rectangulo cuyos lados son 4 y 3, es decir 4×4 +3×3 = 25, la hipotenusa tiene un valor exacto definido en el sistema decima elegido, y es igual a 5. Ahora veamos desde otro ángulo, elijamos un sistema donde la base unitaria sea raiz de 2, √2, en este caso, el segmento de recta de la hipotenusa tendrá valor de una unidad equivalente a √2, y los catetos tendran un valor de 1/√2 (el cual es un numero irracional con un valor aproximado en este nuevo sistema de medición), al sumar los cuadrados de 1/√2, dara un 1/2 + 1/2 = 1, y la raiz de √1= 1, es la hipotenusa, en la base unitaria √2. Saludos.

    Responder
  21. Avatar de Manuel Sánchez Carrilero
    Manuel Sánchez Carrilero

    Yo creo haber respondido ya esta pregunta. Tal vez en otro blog.
    Para la cuestión que se plantea aquí, todo se fundamenta en este teorema: La condición necesaria y suficiente para que un problema geométrico sea soluble con la regla y el compás, es que la incógnita pueda expresarse en función de los datos, por medio de una expresión racional o irracional cuadrática. Es así que el problema planteado responde a la ecuación cuadrática x^2 – 2 = 0, cuya solución positiva «exacta», la raíz cuadrada de 2, se consigue abatiendo con el compás sobre la horizontal, la hipotenusa del triángulo rectángulo dado. Hemos indicado «exacta» como así sería con un compás ideal sin error gráfico alguno.
    Otro tanto ocurriría con la fracción 9/11 que tiene una representación exacta, basándose en una simple proporción de triángulos semejantes.
    Ahora bien, cuando se quiere representar ambos números, en este caso en el sistema decimal (base 10), el irracional raíz de 2 tiene infinitas cifras decimales no periódicas (lo mismo en otra base). Por contra, 9/11, solución de la ecuación lineal 11x – 9 = 0, número racional, también tiene infinitas cifras decimales, pero periódicas (no así en cierta base).
    Podría pensarse que la falta de congruencia en la infinitud de cifras decimales es achacable a la representación numérica, pero el problema no está aquí y es para expertos matemáticos: piénsese por ejemplo en el irracional trascendente PI.

    Responder
  22. Avatar de Fernando Ramirez
    Fernando Ramirez

    Si se piensa que cada decimal representa una división del segmento entonces se ve más claro que el segmento (hipotenuza) del triangulo puede ser divido en infinitas divisiones.

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Sobre el autor
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Soy profesor del área de Matemática Aplicada en la Universidad de Alcalá. Me interesa aprender y ayudar a aprender. Me gusta conectar las matemáticas con otros campos. Cuento cosas en Twitter como @ordend. Tengo una página profesional con más información.

Sobre el blog

Este blog trata sobre matemáticas, miradas desde distintos puntos de vista. Pretende ser cooperativo, porque seguro que hay algo de lo que sabes más que otros y, aunque no lo hayas pensado nunca, tiene matemáticas detrás. Queremos pasarlo bien jugando a pensar y ayudarnos entre todos a aprender cosas. Puedes seguir a @cifrasyteclas en Twitter o visitarnos en Facebook.

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