¿Qué es más probable, que tu matrícula repita algún número o que no?

¿Qué es más probable, que tu matrícula repita algún número o que no?

En un comentario a la anterior entrada, Ismael planteaba una pregunta que había surgido en su foro:

¿Cuál es la probabilidad de que en tu matrícula se repita algún número?

La respuesta es sencilla y puede resultar curiosa. Vamos por partes, haciendo las cuentas para el caso de las matrículas actuales en España, con cuatro números, por ser el origen de la pregunta.

En lugar de calcular la probabilidad de «que se repita algún número», vamos a calcular la probabilidad de lo contrario, «que todos los números sean distintos». Ésta probabilidad, que va a ser más fácil de obtener, está dada por la fracción \frac{\text{Casos con todos los numeros distintos}}{\text{Todos los casos}}.

El total de casos posibles es fácil de calcular. En la parte de los números de la matrícula hay cuatro «casillas» que rellenar, y cada casilla puede tomar uno de entre los diez valores \{0,1,2,\ldots,9\}. Eso hace un total de 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=10^4=10000 posibilidades.

Números del 00 al 99
Éstas son las 10\cdot 10=10^2=100 posibilidades con dos «casillas» que rellenar.

También es fácil calcular cuántos casos con todos los números distintos hay. En la primera «casilla» puedes poner cualquier número, así que tienes 10 posibilidades. En la segunda «casilla» no puedes repetir el número anterior, así que te quedan solo 9 posibilidades. Del mismo modo, en la tercera «casilla» no puedes repetir ninguno de los dos anteriores y te quedan 8 posibilidades. Análogamente, en la última «casilla» te quedan 7 posibilidades. Así que la cantidad de casos con todos los números distintos es 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040.

Por tanto:

La probabilidad de que en tu matrícula no se repita ningún número es \frac{5040}{10000}=0.504 es decir, un 50.4%. La probabilidad de que sí se repita algún número es la complementaria, un 49.6%.

Aunque ganan las matrículas que no repiten ningún número, la probabilidad está muy repartida entre las dos opciones. ¿Cuál es tu caso?

Como proponía el comentario original, puedes fijarte en tu día a día a ver si encuentras (más o menos) esta proporción. También puedes hacer las cuentas para el caso de dos dígitos y comprobar tus cuentas con la imagen anterior. Cualquier excusa es buena para aprender.

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Imágenes

La imagen es de Tom Magliery, en Flickr, y tiene licencia Creative Commons.



7 respuestas a «¿Qué es más probable, que tu matrícula repita algún número o que no?»

  1. Avatar de Ismael

    ¡Gracias David! Vista tu explicación parece un problema muy sencillo. Genial.

  2. Avatar de DavidVR
    DavidVR

    Curioso. ¿Podría completarlo analizando la probabilidad de que uno se repita 3 y 4 veces? ¿o dos números repetidos (dos parejas de iguales)?

  3. Avatar de Jesús
    Jesús

    Ayer leí el titulo de la entrada y antes de meterme he preferido hacer la prueba con los coches de camino al trabajo.

    Y ni tan mal. De 59 matrículas 26 no tenían números repetidos, otros 26 tenían un par de ellos iguales, 5 tenían tres cifras iguales y luego 1 tenía dos pares de cifras iguales.

    Para ser una muestra tan pequeña se ha acercado bastante! Como dice en el comentario anterior, ahora estaría bien saber si esta muestra se ha acercado en los casos de tres cifras, cuatro o parejas dos a dos.

    En cualquier caso habría preferido no encontrarme con tanto coche…

    1. Avatar de David Orden

      @2 Jesús: ¡Me encanta esa actitud! :_) @1 DavidVR: Lo que me parece llamativo es que para ese caso las probabilidades estén tan igualadas. Para el resto de casos ya no me daba el tiempo 🙁 En el foro en que surgió la cuestión han hablado de esos casos, pero recomiendo pensarlo antes.

  4. Avatar de Rafa Cobo
    Rafa Cobo

    Para los que reaccionan porque hay muchos números premiados por la ONCE que tienen 2 o más cifras repetidas: ¿estoy en lo cierto si afirmo que la posibilidad de que tengamos un número de 5 cifras sin ninguna repetida es sólo del 30,24 %? (o sea 10 * 9 * 8 * 7 * 6 = 30 420; 30 240 / 100 000 = 0.3024)

    Un saludo desde Noruega

  5. Avatar de kris
    kris

    No encuentro la manera de calcular la probabilidad de que se repita por ejemplo el 333 seguido, o el 555 seguido, o el 1111 , me ayudáis? que no me apaño con las formulas?
    gracias!

  6. Avatar de Wandel
    Wandel

    Le falta un numero a mi matricula de mí pasola

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Soy profesor del área de Matemática Aplicada en la Universidad de Alcalá. Me interesa aprender y ayudar a aprender. Me gusta conectar las matemáticas con otros campos. Cuento cosas en Twitter como @ordend. Tengo una página profesional con más información.

Sobre el blog

Este blog trata sobre matemáticas, miradas desde distintos puntos de vista. Pretende ser cooperativo, porque seguro que hay algo de lo que sabes más que otros y, aunque no lo hayas pensado nunca, tiene matemáticas detrás. Queremos pasarlo bien jugando a pensar y ayudarnos entre todos a aprender cosas. Puedes seguir a @cifrasyteclas en Twitter o visitarnos en Facebook.

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