El problema matemático que nació en un campo de trabajo de la Segunda Guerra Mundial

El problema matemático que nació en un campo de trabajo de la Segunda Guerra Mundial

La Segunda Guerra Mundial. Un campo de trabajos forzados. Vagonetas cargadas de ladrillos que, en los cruces de raíles, traquetean y pierden parte de su carga. Un matemático soldado que se pregunta si podría haber menos cruces. Ésta es la historia de un problema tan desafiante como fácil de entender, que lleva sin resolver 70 años pese a que se conjetura una solución muy sencilla.

La historia de la máquina Enigma y los trabajos de Alan Turing durante la Segunda Guerra Mundial son bastante conocidos. Pero durante la guerra surgieron otros problemas que, con menor trascendencia, también se han hecho un hueco en la historia de las matemáticas. Como el problema del número de cruce para el grafo bipartido completo que, de la mano de la conjetura de Zarankiewicz, es uno de los problemas abiertos más importantes en Teoría de Grafos.

Dejemos que sea el primer protagonista de esta historia, el matemático húngaro Paul Turán, quien te cuente cómo empezó todo:

En 1944 nuestro batallón tuvo la extrema suerte de trabajar (gracias a algunos camaradas muy ricos) en una fábrica de ladrillos cerca de Budapest.

Nuestro trabajo era sacar los ladrillos de los hornos y transportarlos, en vagonetas que circulaban sobre raíles, hasta alguno de los almacenes que estuviera vacío. Como nunca se podía estar seguro de qué almacén iba a estar disponible, cada horno estaba conectado por raíles con todos los almacenes.

Puesto que teníamos que trasladar una cantidad fija de vagonetas al día, nos interesaba terminar lo antes posible. Después de cargarlas en los hornos (bastante calientes), las vagonetas se deslizaban suavemente por los raíles sin demasiado esfuerzo; el único problema aparecía cuando se cruzaban dos raíles. Allí las vagonetas saltaban y los ladrillos se caían, suponiendo un montón de trabajo extra y una pérdida de tiempo.

Después de pasar por esta experiencia cantidad de veces, pensé por qué demonios habían construido el sistema de raíles de manera tan poco económica; minimizando el número de cruces la producción podría haber sido mucho más económica.

Paul Turán en carta a Richard Guy (1968). Traducción del autor.

Raíles que se cruzan y reflejan el sol del atardecer

 

Acabada la guerra, a Turán ya no le interesaba sólo aquella fábrica. Ahora quería resolver el problema matemático de cómo minimizar los cruces en cualquier fábrica con una organización similar:

  • Dos tipos de edificios; hornos y almacenes.
  • Cada horno unido a todos los almacenes.
  • Ningún horno unido a otro horno y ningún almacén unido a otro almacén.

Los matemáticos, que somos muy de poner nombres, a esta estructura le llamamos grafo bipartido completo. Pero vamos al lío, ¿cómo puedes minimizar los cruces de tu fábrica?

Si sólo hubiera un horno, sería muy fácil diseñar la fábrica para que no hubiera ningún cruce.

Un horno a la izquierda unido, en línea recta, con tres hornos colocados en vertical a su derecha

Si sólo hubiera un almacén, podrías hacer algo similar, intercambiando hornos y almacenes en el dibujo.

¿Y si sólo hubiera dos hornos? Enseguida se te ocurrirá cómo diseñar la fábrica para que tampoco haya cruces:

Un horno a la derecha y otro a la izquierda unidos, en línea recta, con tres almacenes colocados entre ellos y en vertical

Y si sólo hubiera dos almacenes podrías hacer algo similar.

Así que lo interesante de verdad empieza cuando tienes tres hornos y tres almacenes. ¿Puedes unirlos sin ningún cruce? Tic, tac, tic, tac…

Este caso se conoce como el problema de las tres casas y los tres suministros y es un clásico de los juegos de ingenio. Tiene muchas y muy variadas versiones y, además, está relacionado con el teorema más importante del siglo XX. No te voy a enseñar todavía el dibujo por si quieres pasar un rato pensando 😉

Turán siguió aumentando el número de hornos y almacenes, pero después de pensar mucho (y dibujar un montón) algunos casos se le resistían, así que decidió plantear el problema a otros matemáticos. En 1952 lo mencionó en una conferencia en Varsovia… y aquí entra en escena el segundo protagonista de esta historia.

Paul Turán impartiendo una conferencia en Leipzig, Universität, Kleiner Hörsaal, en 1955
No es la conferencia de Varsovia, pero sí es Paul Turán tres años más tarde.

 

A esa conferencia asistió el polaco Zarankiewicz, quien poco después propuso una solución tan sencilla que parecía mentira que pudiera funcionar:

  • Coloca los hornos alineados en horizontal, una mitad a la izquierda y la otra mitad a la derecha.
  • Coloca los almacenes alineados en vertical, una mitad arriba y la otra mitad abajo.
  • Si tu número es impar, simplemente pon en una de las «mitades» un elemento más que la otra.

Según Zarankiewicz, con eso siempre conseguirás el menor número de cruces posible. Por ejemplo, para tres casas y tres almacenes el dibujo queda así

En el centro, en vertical, tres almacenes (dos por encima y uno por debajo). En la línea central, a su izquierda dos hornos y a su derecha un horno. Cada horno unido, en línea recta, con todos los almacenes

y tiene un único cruce que (efectivamente) es lo mejor que se puede conseguir.

Además de ser un diseño muy sencillo, la propuesta de Zarankiewicz tenía una ventaja; aunque nadie lo había pedido, ¡¡sólo usa raíles en línea recta!!

Zarankiewicz publicó en una revista científica su solución y durante unos años se creyó que ahí había acabado todo… pero la historia del problema de la fábrica de ladrillos dio un giro inesperado en 1969, cuando el británico Richard Guy publicó un artículo haciéndose eco de diversos trabajos que mostraban un error en los argumentos de Zarankiewicz.

Lo que hasta entonces era un teorema, una afirmación demostrada, se había convertido en una conjetura, una afirmación que se supone cierta pero que no se ha podido demostrar ni refutar. Había nacido la Conjetura de Zarankiewicz:

¿Es realmente el diseño de Zarankiewicz la mejor manera de diseñar una fábrica de ladrillos, para cualquier número de hornos y almacenes? ¿O en algún caso se puede conseguir un diseño con menos cruces, aunque sea usando curvas en los raíles?

Desde entonces, investigadores de todo el mundo han intentado arrojar un poco de luz sobre este asunto. Pero, aunque el problema es sencillo de explicar, resulta ser endiabladamente escurridizo.

Tanto es así, que sólo se ha conseguido estar seguros de que el diseño de Zarankiewicz es el mejor para unos pocos casos, los que aparecen en verde en esta tabla:

TablaZarankiewiczKmn

Pero para el resto de casos sigue sin saberse si el de Zarankiewicz es realmente el diseño con menos cruces o no. ¡¡Ni siquiera se sabe cuál sería el mejor diseño para una fábrica con 9 hornos y 9 almacenes!! Si consigues uno con menos de 256 cruces (los que daría Zarankiewicz) te harás famoso. ¿A que no parece para tanto?

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Nota 1: Esta entrada ha resultado ganadora de la Edición 5.1: Rey Pastor del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit. ¡¡Gracias!!

Nota 2: Esta entrada ha llegado a portada en Menéame. ¡Gracias!

Nota 3: Esta entrada ha llegado al Olimpo en Divoblogger. ¡Gracias!

Nota 4: Esta entrada ha llegado a Portada en Divúlgame. ¡Gracias!

Para saber más: 

El relato de Paul Turán aparece en una carta a Richard Guy que éste recoge en su artículo sobre la propuesta de Zarankiewicz. Más tarde, Turán escribió un interesante texto de bienvenida para el primer número de la revista Journal of Graph Theory. Más extenso, en este texto narra además otras historias de aquellos años, incluyendo cómo obtuvo trato de favor de un oficial que era ingeniero y había trabajado como corrector en la imprenta que imprimió varios de sus trabajos matemáticos. Quizá también te interese consultar esta biografía de Paul Turán.

El número de cruces para (m) hornos y (n) almacenes con el diseño de Zarankiewicz resulta ser
[leftlfloorfrac{m}{2}rightrfloor leftlfloorfrac{m-1}{2}rightrfloor leftlfloorfrac{n}{2}rightrfloor leftlfloorfrac{n-1}{2}rightrfloor ] y a veces se le llama número de Zarankiewicz (esos simbolitos parecidos a un corchete significan «mayor número entero por debajo»). Quizá te interese leer el artículo original de Zarankiewicz.

El artículo en el que Guy desmontó la propuesta de Zarankiewicz es The decline and fall of Zarankiewicz’s theorem, del libro Proof Techniques in Graph Theory (ed. F. Harary), New York: Academic Press (1969), páginas 63–69. Aparentemente no está disponible online (si alguien lo encuentra añadiré la referencia), pero sí está a la venta en Amazon por un precio poco módico.

Si has estado dándole vueltas al caso con tres hornos y tres almacenes (o si ya lo conocías) seguro que te interesará saber que sí se puede resolver sin cruces en la banda de Möebius (nos lo contó Gaussianos) y en el toro (nos lo contaron en Trablog). Quizá también te interese leer una entrada anterior en la que hablé sobre cómo dibujar con pocos cruces otro tipo de estructura.

Los últimos resultados en la tabla de casos de la conjetura de Zarankiewicz datan de 1993 y fueron obtenidos por Woodall con la ayuda de cálculos por ordenador; puedes consultar el artículo si te interesa. Desde entonces no se ha conseguido resolver ningún otro caso de la tabla. Si quieres hacerte famoso resolviendo el siguiente caso abierto, el de nueve hornos y nueve almacenes, quizá te ayude este artículo de 2002 en el que intentaron extender, sin éxito, los cálculos de Woodall.

Después de la motivación original de Turán, han aparecido otros motivos para intentar dibujar  un grafo con el menor número posible de cruces. Por ejemplo, a la hora de construir microchips. Puedes leer sobre ello en este informe o (por ejemplo) en el artículo Improved Approximations of Crossings in Graph Drawings and VLSI Layout Areas, publicado en el SIAM Journal on Computing.

Por último, puedes encontrar más enlaces e información en la entrada en inglés The fascinating history of the brick factory problem que escribí para Mapping Ignorance y que llegó hasta reddit. En el mismo blog, en la entrada Progress checking Zarankiewicz’s conjecture on the brick factory problem, puedes encontrar algunos progresos recientes relacionados con este problema. Aunque no han conseguido comprobar ningún nuevo caso en la tabla, sí que han abierto un camino que podría ayudar a resolver la conjetura a medio plazo. Quién sabe, quizá tú y yo lo veamos.

Imágenes: 

Cruce de vías por Pedro Rebelo, en Flickr. Horno y almacenes de openclipart. Conferencia de Paul Turán en Wikimedia Commons.



28 respuestas a «El problema matemático que nació en un campo de trabajo de la Segunda Guerra Mundial»

  1. Información Bitacoras.com

    Valora en Bitacoras.com: La Segunda Guerra Mundial. Un campo de trabajos forzados. Vagonetas cargadas de ladrillos que, en los cruces de raíles, traquetean y pierden parte de su carga. Un matemático soldado que se pregunta si podría haber menos …

  2. […] (Sigue leyendo…) […]

  3. Avatar de Javier Moltó

    Me gusta una definición de economía que da Milton Friedman. No la tengo delante, pero dice algo así como que el trabajo técnico es aquel que pretende encontrar la solución más eficiente a un proceso dado y que el trabajo económico es el que pretende encontrar la solución mejor a cualquier proceso sin limitar las alternativas que lo solucionen.

    En este caso, el trabajo económico consistiría estudiar cuántas veces tiene que pasar la carretilla por un cruce para que compense hacer un puente. Luego, el trabajo técnico consistiría en diseñar la pendiente de las rampas del puente para que el puente fuera el más eficiente posible.

    Esta noche busco la definición de Friedman, que ahora no tengo tiempo, y la apunto mejor, que me parece que vale la pena.

    Muchísimas gracias por la entrada

    1. Avatar de David Orden

      @1 Javier Moltó: A falta de esos detalles sobre la definición, recuerda a la dicotomía «ciencia básica – ingeniería» que ha terminado apareciendo por aquí 🙂 Gracias por el apunte.

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  7. Avatar de Juan
    Juan

    Por supuesto que este comentario no quiere quitar trascendencia a la discusión del número mínimo de cruces (con el que trabajo a diario porque trabajo con modelos de datos, Cajita –> Flecha –>Cajita) pero, ¿no se le ocurrió a nadie tapar los vagones con lonas?

    1. Avatar de David Orden

      @2 Juan: Es una buena pregunta. Quizá los ladrillos estaban demasiado calientes para eso, o no había lona, o quién sabe qué en aquellos años.

  8. Avatar de emprendeitor
    emprendeitor

    núm. 2 Juan: no pida tanto. Sólo son matemáticos.
    Una vez planteada una pregunta, un matemático ya sólo piensa en cómo dar respuesta.

    Un ingeniero se plantearía si la solución al problema sólo está en la respuesta a la pregunta, o si existen soluciones alternativas al problema.

    Y así podría decidir entre múltiples opciones: eliminar los cruces, o poner una lona, o prolongar las paredes laterales, o aumentar el diámetro de las ruedas para reducir la sacudida, etc.

  9. Avatar de YoryoBass
    YoryoBass

    Quizás vaya a decir una estupidez, pero creo que para mantener los raíles rectos y minimizar los cruces, optaría por un modelo tridimensional para los almacenes: como un bloque de pisos. Así, los hornos transportan la mercancía hacia un almacén, que contiene en su interior un distribuidor. Al fin y al cabo se trata de ser productivo…

    1. Avatar de David Orden

      @3, 4, 5, 6, 7: Entiendo bien tanto escepticismo, pero a veces la capacidad de abstracción de las matemáticas tiene sus cosas buenas… aunque quizá no se descubran hasta muchos años más tarde. Un ejemplo típico es la teoría de números, que se desarrolló en el siglo XVII sin ninguna utilidad clara… y hoy en día es crucial en criptografía.

      En el caso que nos ocupa, plantear el problema en términos de grafos hace que las posibles soluciones se puedan utilizar también en otros casos, no sólo para hornos y almacenes. Por ejemplo al construir microchips hay que unir componentes mediante hilos… y estos hilos no pueden pasar por dentro de un componente, ni tampoco por encima. En la sección «Para saber más» hay algunos enlaces al respecto.

  10. Avatar de Visca
    Visca

    Porque pasar los raíles por dentro de los almacenes… ¿ni se contempla? ¿puentes? (teniendo los hornos elevados se puede hacer todo el recorrido en bajada, aunque hayan puentes. Al fin y al cabo no es mas curvas, pero en otra dirección) ¿cruces en Y? (fusionar dos o mas vías en una, en cuestión de baches debería causar las mismas molestias que un cruce).

    Ya me imagino, el problema real ya no importa y solo importa el problema matemático con unas reglas muy cerradas (plano bidimensional, un solo tipo de cruce…). ¿Pero eso no es buscar problemas donde no hay? ¿Aunque encontrases una solución, ayudaría realmente?

    Yo recuerdo el juego de las 3 casas y las 3 compañías, y como «no podías levantar el boli ni cruzar ninguna linea» la solución estaba en doblar el papel y dibujar un trozo por el reverso.

    Ale, ahí dejo una imagen, que tenia un rato libre. Como podéis ver soy un pro del Paint. http://imgur.com/tzetFLo

  11. Avatar de enud
    enud

    No es mas fácil poner una malla encima de la vagoneta y atarlo?

  12. […] "El problema matemático que nació en un campo de trabajo de la Segunda Guerra Mundial" http://t.co/MbOwYRJ3Rx  […]

  13. Avatar de Pim pam pum
    Pim pam pum

    Pal Turan como judio no estuvo en un campo de trabajo como indica su título de la entrada ni en un campo de trabajos forzados, sino en un campo de exterminio donde se asesinaba a la gente mientras se la exprimía poco a poco con métodos y estudios realizados matemáticamente de disminucion de reaciones, acinamientos masivos calculados, aprovechamiento de piezas dentales de oro y cosas así.
    Sin la victoria de los aliados hubiese acabado asesinado como millones de compatriotas suyos. Seamos precisos y rigurosos tanto con los números como con las palabras.
    http://en.wikipedia.org/wiki/Labour_service_%28Hungary%29

    1. Avatar de David Orden

      @10 Pim pam pum: Gracias por su observación. Puede suponer que no fue fácil elegir las palabras para el título, por lo que intenté consultar varias fuentes. Entre ellas encontré la página web del National Committee for Attending Deportees de Hungría, que dice lo siguiente:

      While the labour service claimed tens of thousands of Jewish lives, it cannot be considered part of systematic genocide. Although some officers were determined (and often succeeded) in murdering Jews under their command, the Hungarian state did not set up the labour service system for the wholesale elimination of conscripted Jewish males. The system as a whole cannot be defined as «mobile execution grounds» even if, in practice, certain companies proved to be just that.

      Por otro lado, la Wikipedia en español considera el «campo de trabajo» una variante del «campo de concentración» donde los reclusos son sometidos a trabajos forzados, frecuentemente en condiciones deplorables. Por último, las condiciones de Turán no parecen comparables a lo que lamentablemente padecieron otros muchos judíos en los campos de exterminio.

      Por ello, y no por otro motivo, elegí «campo de trabajo» para el título, dejando claro en la primera línea que era un «campo de trabajos forzados».

      Por supuesto puedo haberme equivocado, y si es así pido disculpas por ello, pero espero que con esto quede claro que en ningún caso tuve intención de faltar a la verdad.

  14. Avatar de Nemigo
    Nemigo

    me lo parece a mí o el problema podría plantearse de forma tridimensional?
    la primera versión de la solución (tres almacenes y tres hornos) no sería un plano horizontal en que uno de los hornos (el central) es perpendicular al plano?
    Si planteamos el problema en tres dimensiones sería posible «visualizar» las opciones
    saludos

    1. Avatar de David Orden

      @12 Nemigo: Sí que podría plantearse en 3D, pero entonces sería otro problema; éste se plantea en 2D. La posibilidad de hacerlo en 3D no existe, por ejemplo, para los microchips de los que hablaba arriba. Gracias por participar y preguntar 🙂

  15. Avatar de Vince
    Vince

    Me ha gustado mucho el artículo David, tengo un par de preguntas respecto al planteamiento del problema. ¿Los hornos y los almacenes han de estar alineados obligatoriamente y unidos por caminos rectos, tal y como lo plantea Zarankiewicz en su conjetura, o pueden estar distribuidos aleatoriamente y unidos por caminos curvilíneos?

    1. Avatar de David Orden

      @13 Vince: Me alegro mucho, ¡gracias! Sobre las preguntas: Los hornos y los almacenes se pueden colocar como se quiera y unir entre sí con curvas cualesquiera (siempre que no tengan auto-intersecciones).

      Eso hace aún más llamativa la conjetura de Zarankiewicz; aunque el problema permita dibujos sin (casi) ninguna restricción, la conjetura daría una solución con un tipo muy particular de dibujo.

  16. Avatar de svexup
    svexup

    Pues si se permiten las curvas, por que no construir unas vias en espiral?

    1. Avatar de David Orden

      @16 svexup: Lo primero, gracias por preguntar 🙂 El problema es que hay que unir cada horno con todos los almacenes y viceversa. En ese caso una espiral no minimizaría necesariamente los cruces.

  17. Avatar de svexup
    svexup

    David, esa es la idea, a ver si lo explico bien:
    Construyes una espiral y dentro de los círculos instalas hornos y almacenes, estos los enlazas con la espiral primaria con suaves curvas (para que con un cambio de rieles puedas entrar y salir), por lo que tienes una relación de un cruce por cada elemento, por lo que a mayor número de elementos mas eficiente es.

  18. Avatar de Vince
    Vince

    Hola David, tengo unos grafos que me gustaría enseñarte, ¿como podría contactar contigo para pasártelos?

  19. Avatar de Sergio
    Sergio

    Creo que tengo una posible solución (aunque realmente creo que simplemente no me di cuenta de mi error), no se si «real o falsa» aunque desde mi punto de vista… Depende de la perspectiva que veamos eso de «Ningún horno unido a otro horno y ningún almacén unido con ningún almacén.» Mi primera idea, sin darme cuenta del tercer punto, fue unir los hornos en un punto, y los almacenes en otro, y unir ambos por una única recta. Esto si tenemos almacenes a un lado en una hilera, y los hornos de forma paralela en otra hilera. Lógicamente y cual fue mi sorpresa, no era la solución puesto que incumple el tercer punto (No podía ser tan fácil, y yo tan inteligente de no terminar de leer). Bien, llegados a este punto entramos en materia un tanto mas abstracta. ¿Qué quiere decir hornos/almacenes unidos? Zarankiewicz propone un modelo en el que las vías «se cruzan». Si admitimos el hecho de que que se crucen las vías no supone que pueda redireccionarse la vagoneta por si sola en la dirección de otro horno, podríamos diseñar un sistema en el que, una hilera de hornos, separados cada uno a una distancia, y otra hilera de almacenes, separados cada uno a la misma distancia que lo están los hornos, y ambas hileras, de hornos y almacenes, de forma paralela separados también por una distancia «considerable», utilizando rectas podríamos llevar con sólo una recta cada horno a cada almacén, utilizando solo un punto de cruce. Por ejemplo, si tenemos un segmento AF (el de los hornos) y otro segmento A’F’ (el de los almacenes, teniendo en cuenta hileras de 6 hornos/almacenes, cada uno nombrado con la consecutiva letra del abecedario) el horno A podría estar unido al almacén F’, el B, al E’, y así sucesivamente, de tal forma que al ser distancias todas equidistantes todas las rectas confluyan en un punto común. Bien, si suponemos que la idea de Zarankiewicz de que las vías pueden cruzarse, esta solución solo cruza las otras vías y si desplazamos un vagón es extraño que al llegar al cruce en vez de seguir un camino «recto», cambie solo a otro horno, con lo cual tendría que cambiar su trayectoria en un angulo de 90º o menos, cosa bastante improbable. Ahora bien, no se aclara que no podamos cambiar la trayectoria de los vagones (si esto fuera así, mi idea sería absurda ya que cada vagón seguiría una trayectoria rectilínea y no estarían conectados con otros almacenes aparte de con el que se dirija el raíl, obviamente), para que fuese a donde nosotros elijamos, al igual que tampoco especifica si se tienen que utilizar necesariamente tantos raíles como almacenes para hornos hay. Hipotéticamente, si esto último no tuviera por que ser así, y si se pudiera modificar la trayectoria de los vagones con el recurso humano, tecnológico o mecánico, creo que esta podría ser una solución viable, aunque sí tengo claro que probablemente esté equivocado y haya entrado mas en un dilema sobre las reglas del acertijo en vez de sobre la respuesta en sí. Sea, o no sea así, me gustaría que diesen su opinión y me dijesen donde esta el fallo, por que yo no soy capaz (teniendo en cuenta las directrices mencionadas). Si esta solución fuese correcta, se podrían utilizar tantos hornos y almacenes como fuesen necesarios pues solo habría que añadir una recta más. Para el hecho de que se crucen las vagonetas, aunque no entre en el problema, bastaría con que, si tenemos en cuenta que todas producen de forma constante a la misma velocidad, encendiéramos cada horno más tarde del anterior de forma que los ladrillos saliesen a tiempos distintos y permita la vuelta de las vagonetas del almacén al horno (o al menos vayan alternándose, para una mayor efectividad). Lógicamente, este procedimiento llegaría a colapsar el sistema si se utilizan demasiados hornos y almacenes, aunque yo solo trataba de dar una posible idea.

    Dicho esto, si la hipótesis de que se crucen no fuese como dije, y se entendiese que, como en mi caso, al cruzar los raíles signifique que los hornos/almacenes están unidos, mi grafo no valdría, pero tampoco el de Zarankiewicz. He supuesto por ello que la idea de que se crucen sea posible siempre y cuando el retorno de la vagoneta a otro horno distinto fuese inviable, como expliqué antes, simplemente por el hecho de que un vagón solo no podría girar 90º, aunque por contra al usar demasiados hornos y almacenes disminuyese el grado de giro a otros.

    Soy estudiante y aunque me gustan las matemáticas, nunca fui muy bueno en ellas. ¡No seáis duros conmigo!

    No sé si ha quedado claro la descripción del grafo que dije, pero si no es así, no me costaría nada enviar un dibujo.

    Muchas gracias por leerme, un saludo.

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Soy profesor del área de Matemática Aplicada en la Universidad de Alcalá. Me interesa aprender y ayudar a aprender. Me gusta conectar las matemáticas con otros campos. Cuento cosas en Twitter como @ordend. Tengo una página profesional con más información.

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Este blog trata sobre matemáticas, miradas desde distintos puntos de vista. Pretende ser cooperativo, porque seguro que hay algo de lo que sabes más que otros y, aunque no lo hayas pensado nunca, tiene matemáticas detrás. Queremos pasarlo bien jugando a pensar y ayudarnos entre todos a aprender cosas. Puedes seguir a @cifrasyteclas en Twitter o visitarnos en Facebook.

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