Clotoide, la curva que vela por tu seguridad en carreteras y ferrocarriles

Clotoide, la curva que vela por tu seguridad en carreteras y ferrocarriles

Los primeros trazados de carreteras y vías férreas encadenaban tramos rectos con arcos de circunferencia. Pero, cuando coches y trenes alcanzaron velocidades más altas, se producía una incómoda y peligrosa sacudida al entrar en la curva. Los ingenieros comenzaron a buscar una solución, y la encontraron en las matemáticas y la física. ¿Quieres una explicación sencilla de por qué se usa la clotoide como curva de transición?

Imagina que tienes que diseñar una autovía o una vía férrea de alta velocidad. Seguro que intentarás que haya todas las rectas posibles, pero también tendrás que hacer alguna curva. Y como la más sencilla de todas es la circunferencia, lo más fácil sería ir empalmando tramos rectos con arcos de circunferencia. Algo parecido a una cinta transportadora.

Un tramo recto horizontal empalmado con un arco de circunferencia al que sigue un tramo recto vertical, otro arco de circunferencia y un tercer tramo recto, horizontal.

Parece que así fueron los primeros trazados y, como los primeros coches y trenes no iban a mucha velocidad, todo iba como la seda. Pero la cosa cambió cuando los vehículos fueron capaces de alcanzar velocidades mayores. Al entrar en la curva, en las uniones entre tramos, se notaba una súbita sacudida. Mal asunto.

Así que los ingenieros comenzaron a estudiar qué pasaba y cómo se podía solucionar. La respuesta es fácil de entender y sólo necesitarás dos ingredientes. El primero viene de la geometría y es el radio de curvatura, un concepto bastante intuitivo.

Para una circunferencia, el radio de curvatura es simplemente el radio de la circunferencia. Para una recta puedes pensar que ésta es una circunferencia muuuuuyyyyy grande, de radio infinito. Así el radio de curvatura de una recta será infinito. ¿Fácil, verdad?

El segundo ingrediente viene de la física y es la fuerza centrífuga, cuyo significado es aún más intuitivo, aunque tiene más miga de lo que parece.

Seguro que te suena que la fuerza es «masa por aceleración» y, simplificando un poco, la fuerza centrífuga resulta ser lo siguiente (que nadie se asuste, que viene una fórmula pero está sola y es cobarde):

    \[F=m\cdot\frac{v^2}{r}\]

donde (m) es la masa, (v) es la velocidad y (r) es nuestro amigo el radio de curvatura.

  • Por un lado tienes la masa y la velocidad, que en tu fórmula aparecen multiplicando. Así que cuanto más grandes sean, mayor será la fuerza centrífuga. Tiene lógica; si vas más deprisa, la fuerza centrífuga será mayor, lo mismo que si tienes mayor masa.
  • Por otro lado tienes el radio de curvatura, que en tu fórmula aparece dividiendo. Así que cuanto más grande sea, menor será la fuerza centrífuga. Tiene lógica; en una recta el radio de curvatura es infinito, así que («dividiendo entre infinito») en una recta la fuerza centrífuga es cero. También sabes que, a igual velocidad, la fuerza centrífuga es menor en una curva «más abierta» (con mayor radio) que en otra «más cerrada».

Dos figuras en que se concatenan tramo recto horizontal - arco de circunferencia - tramo recto vertical. En la de la izquierda, la circunferencia tiene menor radio y eso permite que los tramos rectos sean más largos. En la de la derecha sucede lo contrario.

¿Hasta aquí está todo claro? Genial, porque entonces vas a entender enseguida qué pasaba en las uniones entre recta y circunferencia.

En esos puntos el radio de curvatura (r) pasaba de ser infinito (si lo prefieres, un número muuuuuyyyyy grande) a ser un número más o menos pequeño (el radio (R) de la circunferencia). Así que en el denominador de tu fórmula había un descenso brusco… ¡y por eso se producía un aumento brusco de la fuerza centrífuga! Mal asunto.

¿Qué puedes hacer entonces? Repasando tu fórmula F=m\cdot\frac{v^2}{r} tienes:

  • La masa (m), multiplicando. Disminuir ésta requeriría adelgazar el vehículo y sus ocupantes… y bien sabes que no es fácil.
  • La velocidad (v), multiplicando (y además al cuadrado). Podrías ir más despacio, pero entonces tardarías más… y seguro que no te gusta.
  • El radio de curvatura (r), dividiendo. El de la recta es infinito, no lo puedes cambiar. Sí podrías aumentar el radio de la circunferencia, pero entonces (como en la imagen anterior) las rectas serían más cortas… y seguro que tampoco te gusta.

Así que tendrás que pensar en otra posibilidad. ¿Se te ocurre algo?

Claro que sí, podrías introducir una curva de transición entre la recta y la circunferencia. Además sería genial que, en esa transición, el radio de curvatura (r) fuera disminuyendo suavemente desde el infinito (o número muuuuuyyyyy grande) de la recta hasta el radio (R) de la circunferencia.

Según tu fórmula, eso haría que la fuerza centrífuga cambiara de manera suave, en lugar de hacerlo bruscamente.

Nudo en que se cruzan perpendicularmente dos autovías. Sobre una de las cuatro incorporaciones de una a otra, se muestra cómo ésta es un tramo recto, seguido de una curva de transición y, posteriormente, un arco de circunferencia

¿Así que te gustaría que el radio de curvatura (r) fuera disminuyendo a medida que la distancia (d) recorrida fuera aumentando? Espera un momento. Tienes dos cantidades… quieres que una se haga más pequeña cuando la otra se haga más grande… ¡Es lo que en el colegio llamaban cantidades inversamente proporcionales!

O sea, que quieres que el radio de curvatura (r) y la distancia (d) recorrida sean inversamente proporcionales. ¿Y cómo era eso? Ah, sí, eso significaba que su producto fuera siempre el mismo número.

¡¡¡¡TACHÁÁÁÁÁNNN!!!!

Justo esta propiedad es la que define a la curva clotoide, que ya conocían matemáticos y físicos. Su ecuación es precisamente d\cdot r = C^2 (donde (C) es una constante, que se pone al cuadrado para facilitar las cuentas al dibujar).

Dibujo de una curva clotoide en el plano XY

Por eso en tus carreteras y ferrocarriles las curvas suelen encadenar tramos de recta – clotoide – circunferencia – clotoide – recta. De ese modo la fuerza centrífuga va cambiando gradualmente y puedes girar el volante de forma progresiva, en vez de tener que hacerlo bruscamente.

La próxima vez que tomes una curva, no olvides que las matemáticas y la física estarán allí para ayudarte 😉

 

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Nota 1: Esta entrada ha llegado a portada en Menéame. ¡Gracias!

Nota 2: Esta entrada ha llegado al Olimpo en Divoblogger. ¡Gracias!

Nota 3: Esta entrada participa en la edición 4.1231056256 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es Cuentos Cuánticos.

Nota 4: Esta entrada ha resultado ganadora de la XLVIII Edición del Carnaval de la Física, cuyo blog anfitrión es La Aventura de la Ciencia.

Premio Carnaval Física Enero'14

Nota 5: Esta entrada está dedicada a los lectores de km77 que soportan otras entradas menos automovilísticas. Muy en especial a DavidVR, que fue quien me propuso escribir sobre la clotoide. ¡Gracias!

 

Para saber más:

Todo lo anterior sirve también, dándole la vuelta, para la salida de una curva.

Además de en carreteras y vías férreas más o menos convencionales, las clotoides se utilizan también en circuitos de velocidad y en montañas rusas.

Vertical loop - Giro vertical en una montaña rusa

Al parecer el primero en estudiar la clotoide fue el matemático suizo Jakob Bernoulli, en 1694, en el contexto de un problema de elasticidad. Dicho problema fue resuelto en 1744 por el matemático y físico suizo Leonhard Euler, quien dio una caracterización de la curva. Alrededor de 1818, el físico francés Augustin-Jean Fresnel redescubrió la clotoide al estudiar la difracción de la luz, y obtuvo una parametrización de esta curva mediante integrales, equivalentes a las de Euler. En 1874, el físico francés Marie Alfred Cornu consiguió usar esa expresión para dibujar la curva de manera precisa. Y más tarde, en 1890, fue el ingeniero estadounidense Arthur Talbot quien redescubrió una vez más la clotoide, inmerso ya en la búsqueda de una curva de transición para vías férreas. Si quieres saber más sobre su historia, puedes consultar el artículo The Euler spiral: a mathematical history de Raph Levien.

Por lo anterior, la clotoide se conoce también como espiral de Cornu o espiral de Euler. Si quieres más detalles sobre la clotoide y sus ventajas, quizá te interese también esta entrada de Luis González o el artículo Una aproximación a la curva de transición clotoide vista desde Mathematica de Luís Blanch, Emilio Checa y Josefa Marín.

Aunque la clotoide resulta ser la que mejores propiedades muestra, también se han considerado otras posibles curvas de transición, como la radioide de cuerdas (lemniscata de Bernoulli) o la radioide de abscisas (óvalo de Cassini). Como documento histórico, puede interesarte consultar Algunas notas sobre las curvas de las carreteras, publicado en 1929 en la Revista de Obras Públicas.

Todo lo anterior trata del diseño en 2D, pero las carreteras y las vías se construyen en 3D. Por tanto en su diseño entran en juego factores adicionales, como por ejemplo los peraltes. Si quieres más detalles sobre el trazado de carreteras, puedes consultar los apuntes de Josep Pedret Rodés. También puedes leer el Capítulo 3 de la tesina de Víctor Balboa Caparrós.

Si quieres saber cómo se calcula el radio de curvatura para una curva cualquiera, puedes consultar el artículo de la Wikipedia sobre la circunferencia osculatriz.

Si te ha gustado lo de encadenar tramos rectos y arcos de circunferencia, como en las cintas transportadoras, puedes probar a usar el tipo de letra Conveyer Belt Font, desarrollado por mis colegas Erik Demaine, Martin Demaine y Belén Palop. También puedes leer el artículo Conveyer-Belt Alphabet.

Por último, quizá te interese leer otras entradas sobre la clotoide. Puedes leer ésta en Sacit Ametamésta otra en La mesa cero del Blasco. También ha aparecido, entre otras curvas, en una entrada de Mati y sus mateaventuras. Y si te gusta Regreso al futuro, no dejes de leer esta entrada en Taringa donde Doc le explica varias curvas a Marty McFly.

 

Imágenes: 

La imagen de la clotoide en el cruce de autovías es un añadido propio a una imagen de Doc Searls en Flickr (y se distribuye con la misma licencia que la imagen original). La imagen de la clotoide completa está tomada de Wikimedia Commons. La imagen de la montaña rusa está tomada de Jeremy Thompson en Flickr. El resto de imágenes son de creación propia.



39 respuestas a «Clotoide, la curva que vela por tu seguridad en carreteras y ferrocarriles»

  1. […] Clotoide, la curva que vela por tu seguridad en carreteras y ferrocarriles […]

  2. Avatar de cupraboy
    cupraboy

    Por trabajo, trato con clotoides de vez en cuando, aunque la aparición de programas específicos ha facilitado la labor enormemente, ya que ahora solo se aplica un valor de transición entre recta y curva.

    Aún recuerdo mi época de estudios, cuando tenía que pelear con la regla de curvas para obtener algo parecido a la clotoide…

    Ante todo, una entrada muy interesante. Enhorabuena por haber recopilado tanta informacón sobre esta curva que en cada punto de su desarrollo tiene un radio diferente.

    1. Avatar de David Orden

      @1 cupraboy: Muchas gracias. Sabía que habría quien supiera más que yo, así que había que documentarse bien. Es reconfortante que sirva para algo.

  3. Avatar de cupraboy
    cupraboy

    Si quiere le dejo una sugerencia para otro día, relacionada con el trazado de viales.
    El encuentro entre rasantes, es decir, los acuerdos verticales del trazado en alzado, se resuelven mediante arcos de parábola de segundo grado y eje vertical.

    Es otro mundo interesante, aunque no tan complejo en su resolución como una clotoide.

    1. Avatar de David Orden

      @3 cupraboy: Apuntado queda, a ver qué se puede hacer. ¡Gracias!

  4. Avatar de Enrique el Magnánimo
    Enrique el Magnánimo

    Y de como se casan las curvas de transición en planta, los acuerdos de las rasantes y los peraltes en las secciones transversales.

    Saludos

  5. Avatar de cupraboy
    cupraboy

    Siempre me ha llamado la atención la matemática aplicada a la geometría más que la matemática pura o lógica. Quizás a otra gente no.

    Las clotoides me llamaron la atención desde el principio. En su momento recuerdo que me llamó la atención que hubiese una curva de infinitos radios, y sobre todo que pudiese ser calculada y dibujada. Ahora viene usted y me dice que ya en 1694 andaban a vueltas con ella. Que burros somos hoy en día. Y cada vez vamos a peor. Una clotoide a día de hoy no es más que un parámetro «A» que se introduce en un programa. Ya nadie dibuja a mano, ya nadie sabe de donde viene. Como en tantas otras cosas, ahora prima la velocidad y el resultado.

  6. Avatar de cupraboy
    cupraboy

    Por cierto, y ya le dejo de dar la brasa, en un primer momento pensé que Jakob Bernoulli había sido el mismo del principio de Bernoulli ( http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_Bernoulli), que rige el funcionamiento de un carburador.

  7. Información Bitacoras.com

    Valora en Bitacoras.com: Los primeros trazados de carreteras y vías férreas encadenaban tramos rectos con arcos de circunferencia. Pero, cuando coches y trenes alcanzaron velocidades más altas, se producía una incómoda y peligrosa sacudida al entrar ..…

  8. Avatar de Javi
    Javi

    Muy interesante y completo repaso a las clotoides!! Quizás solo echo en falta alguna referencia a la curva que resulta de trazar una paralela a la clotoide, que no es una clotoide si no que se trata de otra curva diferente.

  9. Avatar de pepe da rosa
    pepe da rosa

    en mi pueblo soltamos un burro y por donde pasa hacemos la carretera.Asi nos ahorramos un monton de calculos

  10. Avatar de whitebearblues
    whitebearblues

    Muy interesante, aunque no lo acabo de comprender en alunos casos que veo muy a menudo en cruces de viales de circulación:
    Un vial que discurre por encima de otro, en la misma dirección y en un ángulo de, aprox. 20-30 º. El inferior tiene un acceso al superior en un giro de casi, 360º ¡¡ cuando podría haber tenido esos 20 o 30º.
    Hace un giro hacia la derecha y arriba, derecha y arriba…hasta acceder al mismo nivel del vial superior. una vez llegado, hace un giro a la izqda de esos 20-30º que tenía abajo y que podría haberse ahorrado de giro «floreado».
    En muchos casos de viales EN LOS QUE LOS VEHÍCULOS NO SON NI TRENES NI AVIONES NI LA VELOCIDAD ES UN PROBLEMA, más bien pienso que es un tema de diseño del arquitecto que influye negativamente en todos los aspectos: Más terreno necesario, más asfalto, más atención en la conducción ( dura mucho más la transición entre puntos ), más carburante, mantenimiento…

  11. Avatar de cupraboy
    cupraboy

    @10: whitebearblues: Son ingenieros de caminos los que diseñan los viales. De momento, porque la intrusión laboral está llegando a nuevos límites.

    El principal motivo de hacer los enlaces como los ha descrito, es principalmente que ocupan menos espacio y son más económicos. Además hay un tercer motivo, y es obligar al conductor a respetar la velocidad de 40 km/h que toda incorpración tiene. De todas maneras, es muy desaconsejable ejecutar el cruce de dos viales principales con el ángulo que describe. Es inusual.

  12. Avatar de DavidVR
    DavidVR

    Te ha quedado una entrada muy chula, David y además tan bien explicada que se entiende por cualquiera que no sepa gran cosa de matemáticas. Conductores, así que cuando lleguéis a una curva pensad en la clotoide, que no sólo está por nuestra seguridad, sino además por nuestra comodidad.
    Y es que no es mala idea esta curva, ya que su ecuación intrínseca hace proporcionales la curvatura en cada punto con el espacio que llevamos recorrido por ella y ello supone una variación uniforme de la aceleración centrífuga respecto al espacio recorrido a lo largo de la clotoide cuando el móvil lleva “velocidad uniforme”. Este aspecto, el de la variación de la aceleración centrífuga, más que la fuerza centrífuga en sí misma, es el causante de incomodidad y peligrosidad.
    Finalmente, una pregunta para pensar (o experimentar con cuidadín): ¿qué ocurre cuando el móvil que se desplaza por la clotoide lleva una “velocidad no-uniforme” (usualmente va acelerando, en las clotoides de salida, o decelerando, en las clotoides de entrada)? ¿seguirá siendo tan recomendable esta “ya famosa” curva?

  13. Avatar de Antonio Baldó Soriano

    Sólo una pega: la fuerza centrífuga, que no existe y debería comentarse, pero ayuda a comprender estas situaciones.
    Por otra parte, como profesor de matemáticas, excelente ejemplo de aplicación de magnitudes inversamente proporcionales

    1. Avatar de David Orden

      @13 Antonio: Muchas gracias por el comentario, Antonio. Sobre la fuerza centrífuga, precisamente por eso la entrada dice «cuyo significado es aún más intuitivo, aunque tiene más miga de lo que parece». Para no romper el hilo de la lectura, preferí enlazar a tres sitios donde se puede comprender el porqué. Uno es la entrada de Wikipedia en español sobre fuerza centrífuga, otro es una tabla en que se comparan las características de la fuerza centrífuga como fuerza ficticia y de reacción y el tercero es una entrada de Doble Vía en la que se explica ese punto con un poco más de detalle. Así quien tenga curiosidad puede tirar del hilo.

  14. […] pronunciada a alta velocidad, nos saldremos de la vía. Tienen una explicación más detallada en Cifras y Teclas (donde además les hablan de la clotoide, una curva de radio variable que se usa mucho en carreteras). Los técnicos de movilidad que hacen […]

  15. […] Clotoide, la curva que vela por tu seguridad en carreteras y ferrocarriles […]

  16. Avatar de Antonio Baldó Soriano

    Ciertamente. Envié el comentario antes de ver los enlaces.
    Saludos.

  17. Avatar de Albert
    Albert

    Enhorabuena, es el post que más me ha gustado de este carnaval de Matemáticas. Gracias por compartir tus conocimientos con nosotros y ánimo para continuar.

    1. Avatar de David Orden

      @16 Albert: ¡Muchas gracias! Un comentario así es todo un premio.

  18. […] eso me hace una ilusión especial el premio a la entrada de la clotoide como la mejor de la XLVIII Edición del Carnaval de la […]

  19. Avatar de José Ángel.
    José Ángel.

    Muy buenas tardes, David:

    Esta forma de presentarnos un problema y su solución me parece realmente motivante. Creo que así debería hacerse siempre.

    No obstante, creo que podríamos mejorar lo de la función radio. Pues en este caso, al tomar la función radio un valor «infinito» para la línea recta, tanto si pasamos de una línea recta a un radio de 10 metros, como de una línea recta a un radio de 1000 metros, la discontinuidad o salto de la función radio es la misma en ambos casos; mientras que la «súbita sacudida», o variación en la fuerza centrífuga que sentimos, va de cero a un valor, o de cero a otro valor distinto. Es decir, que la función radio no distingue entre estas dos situaciones, que percibimos como claramente distintas.

    Por otra parte, ¿no sería interesante que, después de contarnos el problema, cada uno tuviéramos un tiempo para intentar resolver el problema por nuestra cuenta, antes de leer la solución que se nos presenta en la entrada? De considerarlo adecuado, quizás un «pincha aquí para descubrir una solución» podría servir para indicar dónde acaba el enunciado.

    Y gracias otra vez por el blog. El interés del contenido puede depender del tiempo que tenga cada uno. Pero la forma -dando ejemplo- de animarmos a todos a sumar nuestros conocimentos, me parece admirable.

  20. Avatar de Josias Wattrelos
    Josias Wattrelos

    Gracias! Isso me ajudou a entender a Clotoide.

  21. Avatar de excelente tu explicacion, me gustaria conocer una explicacion de esa manera de lao que es un aun aparametrizacion, le estare muy agredecido.
    excelente tu explicacion, me gustaria conocer una explicacion de esa manera de lao que es un aun aparametrizacion, le estare muy agredecido.

    Pofesor muchas felicitaciones por sus aportes a la ciencia y a los usuarios Gracias.

  22. Avatar de harold
    harold

    gente necesito a alguien que sea capaz de ayudarme en demostrar la clotoide por medio de una integral, urgente por favor!

  23. Avatar de Angel
    Angel

    Un articulo interesantisimo, ojala sigas publicando mas temas matematicos con aplicaciones en la vida real. Las matematicas son preciosas.

    Angel. Ing. Obras Publicas

    1. Avatar de David Orden

      @22 Angel: ¡Muchas gracias! No es fácil, pero intento encontrar aplicaciones en la vida real que resulten comprensibles. Cualquier idea es bienvenida 🙂

  24. Avatar de Borja Daz-Guardamino Sobrn
    Borja Daz-Guardamino Sobrn

    Hola David,

    Querría preguntarte si me podrías decir la localización de alguna clotoide en España o en algún otro país. Muchas gracias.

    1. Avatar de David Orden

      Hola Borja. No tengo localizada ninguna, pero seguro que puedes encontrarlas en casi cualquier enlace circular a una autovía. Sobre la vista aérea puedes hacer una imagen como la de esta entrada.

  25. Avatar de DavidVR
    DavidVR

    @24 Borja: Para encontrar una clotoide no debe buscarla, únicamente debe observar, porque vive rodeado de ellas. En toda autopista/autovía y trazado de ferrocarril se utilizan curvas de acuerdo horizontales (proyectadas sobre un plano horizontal) de este tipo para facilitar el tránsito gradual desde una trayectoria rectilínea a una curva circular, entre dos circulares de diferente radio. La curva que se adopta es la clotoide. De hecho, en el trazado de una buena autopista o vía férrea los tramos rectos y circulares en proporción a la longitud de tramos curvos realizados con clotoides es pequeña, componiéndose como una sucesión casi continua de clotoides de entrada (infinito a radio R) y de salida (radio R a infinito) de todos los tamaños, unidos a pequeños tramos rectos y circulares.

    Claro, los condicionamientos geográficos obligan a forzar los trazados para que encaje el paso de determinada vía por un lugar (o lo evite) y todo ello cumpliendo además con los parámetros máximos y mínimos que imponen las normativas oficiales de diseño de trazados, en función de las velocidades específicas, intensidades medias diarias, distancia y visibilidad de detención, condicionamientos climáticos, entre otras.

    Borja, fíjese con la ayuda de los modernos sistemas cartográficos de visualización de mapas a través de su PC/Mac, en las tipologías principales de trazados con clotoides (sin entrar en detalles, pues existen otras tipologías sólo con círculos o sólo con clotoides de uso poco recomendable).
    -Disposición con curva circular central entre dos clotoides.
    -Disposición con dos clotoides unidas por un punto de igual radio.
    -Disposición con dos curvas circulares de diferente radio de curvatura pero hacia el mismo lado, enlazadas por un trozo de clotoide intermedia.
    -Disposición con dos curvas circulares de diferente radio de curvatura hacia diferentes lados, enlazadas por dos clotoides intermedias en “ese”.

    En este enlace puede acceder a las distintas normativas de trazado en España y ver su evolución, desde 1964 a 2016: http://www.carreteros.org/normativa/trazado/trazado.htm

    Saludos.

  26. Avatar de Miguel
    Miguel

    Excelente trabajo!

  27. Avatar de telmar
    telmar

    Acostumbro cada dia buscar articulos para pasar un buen momento leyendo y de esta forma me he tropezado vuetro post. La verdad me ha gustado la web y pienso volver para seguir pasando buenos ratos.
    Saludos

  28. Avatar de Bernardo
    Bernardo

    Gracias por la explicación!!, muy didactica y entretenida. Sigue así

  29. Avatar de Juan José López

    ¿Qué ha pasado con las fórmulas del artículo?

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Soy profesor del área de Matemática Aplicada en la Universidad de Alcalá. Me interesa aprender y ayudar a aprender. Me gusta conectar las matemáticas con otros campos. Cuento cosas en Twitter como @ordend. Tengo una página profesional con más información.

Sobre el blog

Este blog trata sobre matemáticas, miradas desde distintos puntos de vista. Pretende ser cooperativo, porque seguro que hay algo de lo que sabes más que otros y, aunque no lo hayas pensado nunca, tiene matemáticas detrás. Queremos pasarlo bien jugando a pensar y ayudarnos entre todos a aprender cosas. Puedes seguir a @cifrasyteclas en Twitter o visitarnos en Facebook.

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