Cómo sorprenderte con un problema que parece simple: Solución al acertijo de los gatos y los rincones

Cómo sorprenderte con un problema que parece simple: Solución al acertijo de los gatos y los rincones

Esta es la historia de cómo un acertijo que parece inocente, sacado del escaparate de una tienda de niños, puede hacernos aprender más de lo esperábamos: En un cuarto hay varios gatos, cada gato en un rincón, cada gato ve tres gatos. ¿Sabes cuántos gatos son?

Si te encuentras este acertijo en un libro de adivinanzas infantiles, lo más probable es que respondas que hay cuatro gatos, pases página y no le des más vueltas. Por ejemplo, un gato en cada esquina de un cuadrado.

Habitación cuadrada con un gato en cada esquina

Pero, ¿estás seguro de que ésa es la única posibilidad? Chin, chin, chin, chiiin.

Te propongo que cambies un poco el cuarto de la figura anterior, para que tenga forma de rombo. Seguirás teniendo cuatro esquinas con un gato en cada una. En total cuatro gatos, como antes.

Cuatro gatos, uno en cada esquina de un rombo

Ahora pon otro rombo al lado del anterior, en horizontal, tocándose en un punto. Tendrás dos rombos, igualitos que los de la televisión hace un tiempo. Prueba a abrir un pasillo entre los dos rombos, ensanchando ese punto en que se tocaban. Y coloca un gato en cada rincón… Tendrás seis gatos.

Dos rombos unidos por un pasillo horizontal y un gato en cada rincón con ángulo interior de menos de 90º. En total, seis gatos.

Así que añadiendo un rombo consigues dos gatos más. ¿Por qué no pruebas a añadir otro rombo? Tendrás tres rombos y, tachán, tachán, dos gatos más. O sea, ocho gatos.

Tres rombos unidos por un pasillo horizontal y un gato en cada rincón con ángulo interior de menos de 90º. En total, ocho gatos.

Y puedes seguir haciendo esto hasta que te aburras, por ejemplo hasta tener siete rombos y dieciséis gatos.

Siete rombos unidos por un pasillo horizontal, con un gato en cada rincón de ángulo interior menor de 90º. En total, dieciséis gatos.

Total, que tienes:

  • Para 1 rombo, 4 gatos.
  • Para 2 rombos, 6 gatos.
  • Para 3 rombos, 8 gatos.
  • Para 7 rombos, 16 gatos.

En el primer rombo tenías 4 gatos y cada vez que añades un rombo estás añadiendo dos gatos, así que el número de gatos es «dos veces el número de rombos más dos». Es decir: [text{Numero de gatos}=2cdot(text{Numero de rombos})+2]

Esto es un número par (porque ambos sumandos son múltiplos de 2) y vale por lo menos cuatro (porque el número de rombos es por lo menos 1). Así que puedes conseguir cualquier número par de gatos a partir de cuatro.

¿Y ya está?

Si con esto te quedas tranquilo y no sigues leyendo, no seré yo quien lo critique… pero ¿no te pica un poco la curiosidad? ¿Y si hubiera otras posibilidades? Por ejemplo, ¿podrías conseguir un número impar de gatos haciendo otro tipo de dibujo?

Ahora es cuando tomas papel y lápiz y te pones a hacer dibujos como un loco. Después de un rato, estarás convencido de que no puede ser. Pero ¿por qué? La explicación es muy sencilla y tiene que ver con el Lema del Apretón de Manos:

  •  Cada gato ve a otros tres, así que el número de “visiones” será tres veces el número de gatos [text{Numero de visiones}=3cdot(text{Numero de gatos})]
  • El número de visiones tiene que ser un número par, porque si un gato ve a otro, éste también le ve a él (la visibilidad es recíproca). Así que (text{Numero de visiones}=3cdot(text{Numero de gatos})) es un número par.

¡¡Pero eso solo puede pasar si (text{Numero de gatos}) es par!! Así que ahora ya puedes asegurar que la respuesta matemática al acertijo sería

El número de gatos puede ser cualquier número par a partir del cuatro.

Por supuesto, esto no tiene en cuenta que la visión de los gatos es limitada, ni que nadie tiene en su casa un cuarto tan raro ni tan grande… Pero ya sabes que para un matemático las vacas son esféricas 🙂

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Nota 1: Esta entrada ha llegado a portada en Menéame. ¡Gracias!

Nota 2: Esta entrada ha llegado al Olimpo en Divoblogger. ¡Gracias!

Nota 3: A algunos lectores les parece que, con más de dos rombos, no es cierto que cada gato vea tres gatos. Espero que esta imagen lo aclare.

Ocho gatos en tres rombos con visibilidades

Para saber más:

Quizá estés pensando qué pasa si el cuarto tiene que ser convexo (puedes mirar la entrada sobre el problema sin resolver en tu piscina). ¿Te atreves a dar una solución en ese caso?
Los problemas de visibilidad son una rama importante de la Geometría Computacional. Si quieres saber más sobre este tipo de problemas, te recomiendo el artículo divulgativo Iluminación y vigilancia en las Galerías de Arte, de mi colega Gregorio Hernández Peñalver. También es muy recomendable la entrada Teorema de la galería de arte de Raúl Ibáñez. Ya en inglés, puedes consultar el libro Art Gallery and Illumination Problems, de Jorge Urrutia.

Y si te gusta y quieres pasar a la historia resolviendo algún problema abierto en este campo, puedes consultar esta lista que, aunque no está muy actualizada, te dará una idea del tipo de cosas que uno se puede preguntar.

Imagen: 

El icono del gato es de pitr, en openclipart.

Vuestras aportaciones: 

Para terminar, es de justicia incluir aquí las aportaciones que me habéis hecho llegar sobre el acertijo. En realidad la primera de ellas fue anterior a la entrada con el acertijo; fue mi ex-alumno Alberto Cuesta quien me apuntó que la solución obvia de cuatro gatos no era la única. Además de las imágenes de la galería, hay más aportaciones en los comentarios a la entrada anterior. ¡Gracias a todos!



20 respuestas a «Cómo sorprenderte con un problema que parece simple: Solución al acertijo de los gatos y los rincones»

  1. […] Esta es la historia de cómo un acertijo que parece inocente, sacado del escaparate de una tienda de niños, puede hacernos aprender más de lo esperábamos: En un cuarto hay varios gatos, cada gato en un rincón, cada gato ve tres gatos. ¿Sabes cuántos…  […]

  2. Avatar de Herminio L.A.

    La solución resulta sorprendente por lo sencilla que es. Mucho más que las que yo intentaba imaginar. Aunque supongo que no es la única forma posible de habitación.
    En cuanto al tema de trasladar el problema a habitaciones ‘reales’ y gatos con volumen, donde hay rincones tanto en el suelo como en el techo, tampoco sé si hay más soluciones aparte de la pirámide triangular. Quizás habría que cambiar de animal en este caso, aunque los gatos son capaces de subir a cualquier sitio…
    Muy divertido el problema. ¡Enhorabuena!

  3. Avatar de Francesc
    Francesc

    Por discutir…
    1.- La visibilidad es recíproca, si suponemos que cada gato tiene un ángulo de visión de 360º esféricos. Podríamos ponerlos mirándose el culo…
    2.- La visibilidad no es reflexiva? No valen los espejos en la habitación? Creo que a los gatos no se les da bien eso de reconocer que la imagen en el espejo es él mismo
    3.- Por qué todas las soluciones son en el plano?
    4.- Supongamos que en el centro de la habitación hay un agujero negro de forma que la imagen del gato del otro lado queda duplicada. Vale por 2? Ok, ok, ya estoy desvariando…

  4. […] Nota 1: Puedes encontrar la solución al acertijo en nuestra siguiente entrada. […]

  5. Información Bitacoras.com

    Valora en Bitacoras.com: Esta es la historia de cómo un acertijo que parece inocente, sacado del escaparate de una tienda de niños, puede hacernos aprender más de lo esperábamos: En un cuarto hay varios gatos, cada gato en un rincón, cada gat…

  6. […] Cómo sorprenderte con un problema que parece simple: Solución al acertijo de los gatos y los rinco… […]

  7. Avatar de Frikisada
    Frikisada

    Si los pones en una estrella de cinco puntas, cada uno ve a 3,por lo que hay al menos una posibilidad con un número impar en que se da la solución. Your argument is invalid. QED

    1. Avatar de David Orden

      @3 Frikisada: Intenta hacer un dibujo, no creo que lo consigas 🙂

  8. Avatar de asd
    asd

    Mmmmmmmmmm… ¿y si lo dejamos en dos gatos y un espejo?

    1. Avatar de David Orden

      @5 asd: Podría funcionar, ¿algún dibujo?

  9. Avatar de gillermo
    gillermo

    En una habitacion cónica de base toroidal, con un gato en el vértice, tendrias infinitas soluciones por encima de cuatro, variando el radio interno y externo del toroide.

  10. Avatar de Rob
    Rob

    Con 3 o más rombos los del los rombos centrales no ven a los que están en las esquinas laterales de hecho solo pueden ver el que tienen en frente

    1. Avatar de David Orden

      @8 Rob: Sí que los ven, voy a subir una imagen para dejarlo más claro.

  11. Avatar de xxx
    xxx

    Creo que pasan el enunciado por alto; estan en un cuarto, osea un recinto de cuatro lados o paredes…

  12. Avatar de Don Curioso
    Don Curioso

    Francesc, pues tu punto (1) me parece una muy buena cuestión. Invalida la demostración contra los números impares. David, ¿se nos escapa algo?

  13. Avatar de veronica
    veronica

    osea la respuesta seria 3??????? :S

  14. Avatar de jorge
    jorge

    ni uno pendejos estan en el dormitorio….. estan durmiendo por lo tanto no ven

  15. Avatar de Eva
    Eva

    Me encanta las matemáticas

  16. Avatar de Usos
    Usos

    Se trata de un caso muy claro de pensamiento lateral. A nadie se le ocurriría pensarlo desde ese punto de vista, ni siquiera los niños.

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Sobre el autor
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Soy profesor del área de Matemática Aplicada en la Universidad de Alcalá. Me interesa aprender y ayudar a aprender. Me gusta conectar las matemáticas con otros campos. Cuento cosas en Twitter como @ordend. Tengo una página profesional con más información.

Sobre el blog

Este blog trata sobre matemáticas, miradas desde distintos puntos de vista. Pretende ser cooperativo, porque seguro que hay algo de lo que sabes más que otros y, aunque no lo hayas pensado nunca, tiene matemáticas detrás. Queremos pasarlo bien jugando a pensar y ayudarnos entre todos a aprender cosas. Puedes seguir a @cifrasyteclas en Twitter o visitarnos en Facebook.

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