Si éste es el blog de matemáticas de km77.com,  además de combinar matemáticas y coches no podíamos dejar de hablar del número 77. Y ya que estamos, vamos a intentar hacerlo más divertido proponiéndonos un reto:

¿Cuántas propiedades seremos capaces de encontrar (y explicar) para el número 77? ¿Conseguiremos entre todos llegar a las 77 propiedades?

Los que estamos a este lado del blog iremos enseñándote algunas cosas sobre el número 77, pero también contamos contigo para que nos ayudes. Si se te ocurre alguna propiedad que te parezca interesante, puedes escribirnos al correo que aparece en la columna de la derecha. Los números son juguetones y a veces se esconden donde menos te lo esperas.

Como propiedad número 1, hoy vamos a ver cómo el número 77 aparece cuando construimos castillos de naipes. Sigue leyendo si quieres saber dónde.

Quizá hayas intentado alguna vez apilar cartas sin que se caigan. Quizá no, pero te imaginarás que puede resultar tan desafiante como frustrante.

Al preparar esta entrada he descubierto que hay verdaderos expertos en el arte de crear estructuras con cartas. El mejor de ellos parece ser Bryan Berg, que es capaz de hacer estructuras como la de la imagen sin usar ningún tipo de sujeción, lo que le ha permitido conseguir varios récords Guinness.

En su página web podrás ver otras estructuras como la torre más alta hecha con cartas, que mide ¡alrededor de 8 metros de alto!

Pero nosotros vamos a conformarnos con el nivel principiante. Vamos a construir el que probablemente sea el castillo de naipes más básico:

• Cada piso estará formado por pares de cartas colocados como una V invertida, es decir, así (bigwedge).
• Entre cada dos pisos uniremos cada par de cartas (bigwedge) con el que tiene a su lado, usando una carta colocada en horizontal.

Si conseguimos hacerlo con tres pisos, el resultado será parecido a éste:

Ahora viene la pregunta del título, ¿cuántas cartas hacen falta para construir uno de estos castillos de naipes? Por supuesto, depende de cuántos pisos queramos levantar:

• Para 1 piso usaremos 1 par de cartas, así que tenemos (1cdot 2) cartas.
• Para 2 pisos usaremos, además de lo anterior:
  • Dos pares de cartas, es decir, (2cdot 2) cartas en el segundo piso empezando por arriba.
  • (1) carta separando este piso del anterior.
• Para 3 pisos usaremos, además de lo anterior:
  • Tres pares de cartas, es decir, (3cdot 2) cartas en el tercer piso empezando por arriba.
  • (2) cartas separando este piso del anterior.
• Para 4 pisos usaremos, además de lo anterior:
  • Cuatro pares de cartas, es decir, (4cdot 2) cartas en el tercer piso empezando por arriba.
  • (3) cartas separando este piso del anterior.

¿Que no lo ves claro? No hay problema, puedes contarlas en esta imagen de un castillo de naipes con cuatro pisos:

Si te fijas un poco, podrás ver un patrón en la lista anterior; para un número (n) de pisos hay que usar

((1+2+cdots+n) cdot 2) cartas en los pisos

junto con

(1+2+cdots+(n-1)) cartas separando los pisos.

Por ejemplo, para (n=7) tendremos

((1+2+cdots+7) cdot 2=28cdot 2=56) cartas en los pisos

junto con

(1+2+cdots+6=21) cartas separando los pisos.

Así que, como (color{red}{56}+color{blue}{21}=77), resulta que

Hacen falta 77 cartas para construir un castillo de naipes con 7 pisos.

Pero no he encontrado ninguna imagen de un castillo de naipes que tenga 7 pisos, así que ahí va otro reto. Si consigues construir uno y nos envías la foto, la colgaremos aquí para que todo el mundo vea lo manitas que eres. ¿Te atreves?

Imágenes: Página web de Bryan Berg, Carl Glover en Flickr, peterjroberts en Flickr.

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Nota: Esta entrada ha llegado al Olimpo en Divoblogger.

Para saber más:

Para calcular el número de cartas necesario podemos utilizar una propiedad que habrás visto si te han contado alguna vez lo que es una progresión aritmética: [1+2+3+cdots+n=frac{ncdot (n+1)}{2}quad (star)]

Si no te lo han contado nunca, puedes intentar demostrarlo usando la técnica de inducción de la que hablamos en una entrada anterior, o puedes convencerte de una manera más visual como nos ha contado hace poco nuestra amiga Mati.

Y ahora que sabes esto, si miras otra vez el número de cartas que hacen falta para (n) pisos verás que son:

((1+2+cdots+n) cdot 2stackrel{(star)}{=}frac{ncdot (n+1)}{2}cdot 2) cartas en los pisos

junto con

(1+2+cdots+(n-1)stackrel{(star)}{=}frac{(n-1)cdot n}{2}) cartas separando los pisos.

Y por tanto en total el número de cartas será [color{red}{frac{ncdot (n+1)}{2}cdot 2}+color{blue}{frac{(n-1)cdot n}{2}}=frac{2cdot ncdot (n+1)+(n-1)cdot n}{2}=frac{ncdot (2(n+1)+(n-1))}{2}=frac{ncdot (2n+2+n-1)}{2}=frac{ncdot (3n+1)}{2}] que para (n=7) nos da, efectivamente, 77.